1) প্ৰতিষ্ঠাপন পদ্ধতিৰে তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰবোৰ সমাধা কৰা ঃ
(i) x+y=14
x-y=4
Solution:-
উত্তৰঃ
প্ৰদত্ত সমীকৰণদ্বয়—
x+y = 14 ……….. (1)
x−y = 4 ………… (2)
প্ৰতিষ্ঠাপন পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰি, সমীকৰণ (1) ৰ পৰা x ৰ মান
x=14−y…………(3)
এতিয়া, এই মানটো সমীকৰণ (2) ত স্থাপন কৰোঁ—
\(\implies (14−y)−y=4\)
\(\implies 14−2y=4\)
\(\implies−2y=4−14\)
\(\implies−2y=−10\)
\(\therefore y=5\)
এতিয়া, y = 5 মানটো (3) ত স্থাপন কৰোঁ— x=14−5 = 9
\(\therefore x = 9 , y=5\)
(ii) \(s – t = 3\)
\(\frac{s}{3}+ \frac{t}{2} = 6\)
Solution:-
প্ৰদত্ত সমীকৰণবোৰ—
\(s – t = 3\) ………… (1)
\(\frac{s}{3} + \frac{t}{2} = 6\) ………… (2)
প্ৰথম সমীকৰণ (1) ৰ পৰা s ৰ মান
\(s = t + 3\)…………….. (3)
এই মানটো সমীকৰণ (2) ত স্থাপন কৰোঁ—
\(\implies\frac{t+3}{3} + \frac{t}{2} = 6\)
\(\implies\frac{t}{3} + \frac{3}{3} + \frac{t}{2} = 6 \)
\(\implies\frac{t}{3} + \frac{t}{2} + 1 = 6\)
\(\implies\frac{t}{3} + \frac{t}{2} = 5\)
এতিয়া, L.C.M. = 6 লৈ—
\(\implies\frac{2t + 3t}{6} = 5 \)
\(\implies\frac{5t}{6} = 5\)
\(\implies 5t = 30\)
\(\therefore t=6 \)
s ৰ মান (3) নং সমীকৰণত বহুৱাই
\(\implies s = t + 3\)
\(\implies s=6+3 = 9\)
\(\therefore s=9,t=6\)
(iii) \(3x – y = 3\)
\(9x-3y=9\)
Solurion:- দিয়া সমীকৰণসমূহ হলঃ
\(\implies 3x−y=3\)
\(\implies 9x−3y=9\)
এতিয়া, দ্বিতীয় সমীকৰণক 3 দ্বাৰা বিভাজন কৰি, আমি পাঁও
\(\implies\frac{9x – 3y}{3} = \frac{9}{3}\)
\(\implies 3x−y=3\)
এতিয়া লক্ষ্য কৰা হল যে এই সমীকৰণ মূলত প্ৰথম সমীকৰণৰ সদৃশ। সেয়েহে, দুয়োটা সমীকৰণ একেই সমীকৰণৰ প্ৰতিনিধিত্ব কৰে। এই সমীকৰণযুগ্মৰ অসংখ্য সমাধান আছে, অৰ্থাৎ এইবোৰ অসংখ্য সমাধানযুক্ত সমীকৰণ।
(iv) \(0.2x+0.3y = 1.3\)
\( 0.4x+0.5y = 2.3\)
Solution:-
দিয়া সমীকৰণসমূহ হলঃ
\(0.2x+0.3y=1.3\)
\(0.4x+0.5y=2.3\)
সমীকৰণবোৰক 10 দ্বাৰা গুণ কৰিলে,
\(\implies 2x+3y=13\) ………………………..(i)
\(\implies 4x+5y=23\)………………………. (ii)
সমীকৰণ (i) লৈ, x ৰ মান প্ৰকাশ কৰোঁঃ
\(\implies 2x=13−3y\)
\(\implies x = \frac{13 – 3y}{2}…………….. (iii)\)
এই মান দ্বিতীয় সমীকৰণত প্ৰতিস্থাপন কৰা
\(\implies 4(\frac {13−3y}{2})+5y=23\)
\(\implies \frac {52−12y}{2}+5y=23\)
\(\implies 26−6y+5y=23\)
\(\implies 26− y=23\)
\(\implies 26 -23 = y\)
\(\implies y= 3\)
y ৰ মান প্ৰথম সমীকৰণত প্ৰতিস্থাপন কৰি x উলিওৱা
\(\implies 2x+3(3)=13\)
\(\implies 2x+9=13\)
\(\implies 2x = 13 – 9\)
\(\implies 2x = 4\)
\(\implies x = 2\)
\((v) \sqrt 2x+\sqrt 3y=0…………….. (i)\)
\(\sqrt 3x-\sqrt8y=0……………….. (ii)\)
Solution:-
সমীকৰণ (i) লৈ, x ৰ মান প্ৰকাশ কৰোঁঃ
\(\implies \sqrt{2}x = -\sqrt{3}y\)
\(\therefore x = \frac{-\sqrt{3}y}{\sqrt{2}}\)
এই মান দ্বিতীয় সমীকৰণত প্ৰতিস্থাপন কৰা
\(\implies \sqrt{3} \left( \frac{-\sqrt{3}y}{\sqrt{2}} \right) – \sqrt{8}y =0\)
\(\implies \frac{- 3y}{\sqrt{2}} – \sqrt{8}y =0\)
\(\implies \frac{- 3y}{\sqrt{2}} – 2\sqrt{2}y =0\)
সৰ্বসম \(\sqrt2\) লৈ গুণ কৰিলে, পাইঃ
\(\implies -3y – 2\sqrt{2}y \cdot \sqrt{2} = 0\)
\(\implies −3y−4y=0 \)
\(\implies −7y=0\)
\(\therefore y=0\)
y=0 প্রথম সমীকৰণত প্ৰতিস্থাপন কৰি x উলিওৱা
\(\implies \sqrt{2}x + \sqrt{3}(0) = 0\)
\(\implies\sqrt{2}x = 0\)
\(\implies x = 0\)
(vi) \(\frac{3x}{2} – \frac{5y}{3} = -2\)
\(\frac{x}{3} +\frac{y}{2} =\frac{13}{6}\)
Solution:- দিয়া সমীকৰণসমূহ হলঃ
\(\frac{3x}{2} – \frac{5y}{3} = -2…………………. (i)\)
\(\frac{x}{3} +\frac{y}{2} =\frac{13}{6}………………. (ii)\)
প্রথম সমীকৰণ: হৰ 2 আৰু 3 ৰ LCM = 6
\(\implies\frac{9x – 10y}{6} = -2\)
\(\implies 9x – 10y = -12…………. (iii)\)
দ্বিতীয় সমীকৰণ: হৰ 3, 2, আৰু 6 ৰ LCM = 6
\(\implies\frac{2x + 3y}{6} =\frac{13}{6}\)
\(\implies 2x + 3y = 13………………. (iv)\)
(iv) ৰ x পৰা মান উলিৱাই……………………..
\(\implies 2x + 3y = 13\)
\(\implies 2x = 13-3y\)
\(\implies x =\frac {13-3y}{2}\)
x ৰ মান (iii) ত বহুৱাই পাও
\(\implies 9(\frac {13-3y}{2}) – 10y = -12\)
ভগ্নাংশ আঁতৰাবলৈ 2 ৰে পূৰণ কৰোঁ:
117−27y−20y=−24
⇒117−47y=−24
⇒−47y=−141
⇒y=3
y=3 ক \( x =\frac {13-3y}{2}\) ত বহুওৱা
\(\implies x =\frac {13-3(3)}{2}\)
\(\implies x =\frac {13-9}{2}\)
\(\implies x =\frac {4}{2}\)
\(\implies x = 2\)
2) 2x + 3y = 11 আৰু 2x – 4y = – 24 ক সমাধা কৰা। ইয়াৰপৰা ‘m’ৰ মান উলিওৱা যাতে y = mx +31
Solution:-
ধৰো,
\(2x + 3y = 11 …………………… (i)\)
\(2x – 4y = – 24……………………………..(ii)\)
(i) ৰ পৰা………..
⟹ 2x=11−3y
\(\implies x = \frac{11-3y}{2}\)
x ৰ মান (ii) ত বহুৱাই
\(2(\frac{11-3y}{2}) – 4y = – 24\)
\(\implies 11-3y – 4y = – 24\)
\(\implies 11-7y = – 24\)
\(\implies -7y = – 24-11\)
\(\implies -7y = -35\)
\(\implies y = 5\)
y ৰ মান (i) ত বহুৱাই পাঁও যে………..
\(\implies 2x + 3(5) = 11 \)
\(\implies 2x + 15 = 11 \)
\(\implies 2x = 11 – 15 \)
\(\implies 2x = – 4 \)
\(\implies x = -2 \)
\(\therefore y = mx +31\)
\(\implies 5 = m(-2) +31\)
\(\implies 5 – 31 = m(-2)\)
\(\implies -26 = -2m\)
\(\implies m = 13\)
3. তলৰ সমস্যাবোৰৰ ক্ষেত্ৰত ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ গঠন কৰা আৰু প্ৰতিষ্ঠাপন পদ্ধতিৰে সিহঁতৰ সমাধান উলিওৱা ।
(i) দুটা সংখ্যাৰ পাৰ্থক্য 26। এটা সংখ্যা আনটোৰ তিনিগুণ হ’লে সংখ্যা দুটা উলিওৱা ।
Solution:- ধৰো, সংখ্যা দুটা x আৰু y
প্ৰশ্নমতে, \(x−y=26…….. (i)\) আৰু \( x=3y……………(ii)\)
সমীকৰণ (2) ৰ মান x=3y ক সমীকৰণ (1) ত বহুৱাই :
\(\implies 3y−y=26\)
\(\implies 2y=26\)
\(\implies y=\frac{26}{2} = 13\)
y ৰ মান x=3y ত বহুৱাই
\(\implies x=3(13)=39\)
(ii) দুটা সম্পূৰক (supplementary) কোণৰ ডাঙৰটো সৰুটোতকৈ 18 ডিগ্ৰী বেছি। কোণ দুটা নিৰ্ণয় কৰা ।
Solution:- দিয়া আছে,
দুটা সম্পূৰক কোণৰ যোগফল = \(180^\circ\)
ডাঙৰ কোণটো সৰুটোতকৈ \(18^\circ\) বেছি
ধৰো, সৰু কোণ = \(x\)
ডাঙৰ কোণ = \(x + 18^\circ\)
\[\implies x + (x + 18^\circ) = 180^\circ \]
\[\implies 2x + 18^\circ = 180^\circ\]
\[\implies 2x = 162^\circ \]
\[\implies x = 81^\circ \]
ডাঙৰ কোণ = \(81^\circ + 18^\circ = 99^\circ\)
(iii) এটা ক্রিকেট দলৰ প্ৰশিক্ষকজনে 7 খন বেট আৰু 6 টা বল কিনে 3800 টকাত। পিছত তেওঁ 3 খন বেট আৰু ১টা বল কিনে 1750 টকাত । প্ৰতিখন বেট আৰু প্ৰতিটো বলৰ দাম উলিওৱা।
Solution:- ধৰো, এখন বেটৰ দাম = x টকা আৰু এটা বলৰ দাম = y টকা
\(\implies 7x + 6y = 3800…………………….(i)\)
\(\implies 3x + y = 1750……………… (ii)\)
\((ii)\) নং সমীকৰণৰ পৰা
\[y = 1750 – 3x\]
y ৰ মান (i) ত বহুৱাই…………….
\[\implies 7x + 6(1750 – 3x) = 3800\]
\[\implies 7x + 10500 – 18x = 3800\]
\[\implies -11x + 10500 = 3800 \]
\[\implies -11x = -6700\]
\[\implies x = 610\]
x = 610 ৰ মান y = 1750 – 3x ত বহুৱাই
\[\implies y = 1750 – 3(610)\]
\[\implies y = 1750 – 1830\]
\[\implies y = 80\]
\(\therefore\) এখন বেটৰ দাম = 610 টকা
\(\therefore\) এটা বলৰ দাম = 80 টকা
(iv) এখন চহৰৰ টেক্সি ভাড়াত এটা নিৰ্দিষ্ট ভাড়াৰ লগত অতিক্ৰম কৰা দূৰত্বৰ ভাড়াটো লগলাগি থাকে। 10 কি.মি. দূৰত্বৰ বাবে দিবলগীয়া ভাড়া 105 টকা আৰু 15 কি.মি. ভ্ৰমণ এটাৰ বাবে দিবলগীয়া ভাড়া 155 টকা। নিৰ্দিষ্ট আৰু প্ৰতি কি.মি. ভ্ৰমণ এটাৰ ভাড়া কিমান? 25 কি.মি. দূৰত্ব ভ্ৰমণ কৰিবলগীয়া মানুহ এজনে ভাড়া কিমান দিবলগীয়া হ’ব?
Solution:-
সমাধান:
ধৰো,
নিৰ্দিষ্ট ভাড়া = \( x \) টকা
প্ৰতি কি.মি. ভাড়া = \( y \) টকা
প্ৰশ্নমতে,
\[x + 10y = 105 ……………… (i)\]
\[x + 15y = 155…………………. (ii)\]
সমীকৰণ 1 ৰ পৰা ( x ) ৰ মান উলিয়াওঁ
\[x = 105 – 10y…………….. (iii)\]
সমীকৰণ 3 ক সমীকৰণ 2 ত বহুওৱা
\[(105 – 10y) + 15y = 155\]
\[105 + 5y = 155\]
\[5y = 155 – 105\]
\[5y = 50\]
\[\implies y = \frac{50}{5} = 10\]
y = 10 সমীকৰণ 3 ত বহুওৱাই
\[x = 105 – 10(10)\]
\[x = 105 – 100 = 5\]
নিৰ্দিষ্ট ভাড়া = \(5\) টকা
প্ৰতি কি.মি. ভাড়া = \(10\) টকা
25 কি.মি. ৰ বাবে ভাড়া:
\[\implies x + 25y = 5 + 25(10)\]
\[\implies 5 + 250 = 255\]
(v) এটা ভগ্নাংশত যদি লব আৰু হৰ উভয়তে 2 যোগ কৰা হয় তেন্তে ভগ্নাংশটো হয় যদি লব আৰু হৰ উভয়তে 3 যোগ কৰা হয়, তেন্তে ভগ্নাংশটো হয় 5 । ভগ্নাংশটো উলিওৱা ৷
Solution:-
সমাধান:
ধৰা হওক,
ভগ্নাংশটোৰ লব = x
ভগ্নাংশটোৰ হৰ = y
\(\therefore\) ভগ্নাংশটো \(x=\frac{x}{y}\)
প্ৰশ্নমতে,
লব আৰু হৰ উভয়তে 2 যোগ কৰিলে ভগ্নাংশটো \(\frac{1}{2}\) হয়:
\[\frac{x + 2}{y + 2} = \frac{1}{2}…………(i)\]
আৰু লব আৰু হৰ উভয়তে 3 যোগ কৰিলে ভগ্নাংশটো \(\frac{3}{5}\) হয়:
\[\frac{x + 3}{y + 3} = \frac{3}{5}……………. (ii)\]
সমীকৰণ 1 ৰ পৰা y ৰ মান উলিয়াওঁ
\[2(x + 2) = y + 2 \]
\[\implies 2x + 4 = y + 2 \]
\[\implies y = 2x + 2 ………………….. (iii)\]
সমীকৰণ 3 ক সমীকৰণ 2 ত বহুওৱা
\[\implies\frac{x + 3}{(2x + 2) + 3} = \frac{3}{5}\]
\[\implies\frac{x + 3}{2x + 5} = \frac{3}{5}\]
\[\implies 5(x + 3) = 3(2x + 5)\]
\[\implies 5x + 15 = 6x + 15\]
\[\implies 5x – 6x = 15 – 15\]
\[\implies -x = 0 \]
\[\implies x = 0\]
x = 0 সমীকৰণ 3 ত বহুওৱা
\[y = 2(0) + 2 = 2\]
ভগ্নাংশটো হ’ল \(\frac{0}{2}\)।
(ইয়াত ( x = 0 ) হোৱাত ভগ্নাংশটো শূন্য হয়, যিটো গাণিতিকভাৱে শুদ্ধ যদিও ব্যৱহাৰিক ক্ষেত্ৰত ইয়াৰ অৰ্থ প্ৰশ্নটোৰ নিৰ্দিষ্টতাৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰিব পাৰে।)
(vi) আজিৰপৰা পাঁচ বছৰ পিছত জেকবৰ বয়স তেওঁৰ পুত্ৰতকৈ তিনিগুণ হ’ব। পাঁচ বছৰ আগতে জেকবৰ বয়স তেওঁৰ পুত্ৰতকৈ সাতগুণ আছিল। তেওঁলোকৰ বৰ্তমান বয়স কিমান ?
Solution:-
সমাধান:
ধৰা হওক,
জেকবৰ বৰ্তমান বয়স = x বছৰ
পুত্ৰৰ বৰ্তমান বয়স = y বছৰ
প্ৰশ্নমতে, 5 বছৰ পিছত জেকবৰ বয়স পুত্ৰৰ বয়সৰ তিনিগুণ হ’ব:
\[x + 5 = 3(y + 5) ………………..(i)\]
5 বছৰ আগতে জেকবৰ বয়স পুত্ৰৰ বয়সৰ সাতগুণ আছিল:
\[x – 5 = 7(y – 5) …………….. (ii)\]
সমীকৰণ 1 ৰ পৰা ( x ) ৰ মান উলিয়াওঁ
\[\implies x + 5 = 3y + 15 \]
\[\implies x = 3y + 10………….. (iii)\]
সসমীকৰণ 3 ক সমীকৰণ 2 ত বহুওৱা
\[\implies(3y + 10) – 5 = 7(y – 5)\]
\[\implies 3y + 5 = 7y – 35\]
\[\implies 3y – 7y = -35 – 5\]
\[\implies -4y = -40 \]
\[\implies y = \frac{-40}{-4} = 10\]
y = 10 সমীকৰণ 3 ত বহুওৱা
\[x = 3(10) + 10 = 30 + 10 = 40\]
জেকবৰ বৰ্তমান বয়স = \(40\) বছৰ
পুত্ৰৰ বৰ্তমান বয়স = \(10\) বছৰ