অনুশীলনী 1.1 .

1. ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা ব্যৱহাৰ কৰি:
2. 135 আৰু 225
3. 196 আৰু 38220

   iii.  867 আৰু 255

1. 135 আৰু 225

সমাধান :

  দেখা  পোৱা যায়  যে 225 টো 135 তকৈ ডাঙৰ। গতিকে ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা দ্বাৰা

 225=135×1+90

 এতিয়া, বাকী 90 ≠ 0, এইদৰে পুনৰ 90 ৰ বাবে বিভাজন প্ৰমেয়িকা ব্যৱহাৰ কৰি, আমি পাম,

 135 =90×1+45

 আকৌ, 45 ≠ 0, ওপৰৰ পদক্ষেপটো 45 ৰ বাবে পুনৰাবৃত্তি কৰিলে, আমি পাম,

 90=45×2+0

 বাকীখিনি এতিয়া শূন্য, গতিকে আমাৰ পদ্ধতি ইয়াতেই বন্ধ হৈ যায়।যিহেতু, শেষৰ পদক্ষেপত,  ভাজকটো  45, গতিকে, HCF (225, 135)=HCF (135,90)=HCF (90,45)=45

 গতিকে 225 আৰু 135 ৰ HCF 45

2. 196 আৰু 382240

  দেখা  পোৱা যায়  যে ,

38220  টো 196  তকৈ ডাঙৰ। গতিকে ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা দ্বাৰা

  38220 = 196× 195 + 0

 বাকীখিনি এতিয়া শূন্য, গতিকে আমাৰ পদ্ধতি ইয়াতেই বন্ধ হৈ যায়।যিহেতু, শেষৰ পদক্ষেপত, ভাজক 195 গতিকে,

HCF (38220,196)= 195

3. 867 আৰু 255

 867, 255 তকৈ ডাঙৰ। এতিয়া 867 ত ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰা যাওক,

 867 = 255 × 3 + 102

 বাকী 102 ≠ ০, গতিকে 255 ক ভাজক হিচাপে লৈ বিভাজন লেমা পদ্ধতি প্ৰয়োগ কৰিলে আমি পাম,

 255 = 102 × 2 + 51

 আকৌ, 51 ≠ 0. এতিয়া 102 হৈছে নতুন ভাজক, গতিকে আমি পোৱা একেটা পদক্ষেপ পুনৰাবৃত্তি কৰিলে,

 102 = 51 × 2 + ০

 বাকীখিনি এতিয়া শূন্য, গতিকে আমাৰ প্ৰক্ৰিয়া ইয়াতেই বন্ধ হৈ যায়।  যিহেতু, শেষৰ পদক্ষেপত, ভাজক ৫১, গতিকে, HCF (867,255)  = 51

2. দেখুওৱা যে যিকোনো যোগাত্মক অযুগ্ম অখন্দ সংখ্যা 6q + 1,বা 6q + 3, বা 6q + 5 আৰ্হিৰ, য’ত q হৈছে কোনো অখন্দ সংখ্যা ।

সমাধান:

ধৰো,

a  যিকোনো এটা ধনাত্মক অখন্দসংখ্যা আৰু b = 6 । তাৰ পিছত ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা দ্বাৰা,

∴ q ≥ 0 ৰ বাবে a = 6q + r, আৰু r = 0, 1, 2, 3, 4, 5, কাৰণ 0≤r< 6.

এতিয়া r ৰ মানটো প্ৰতিস্থাপন কৰি আমি পাম,

যদি r = 0 হয়, তেন্তে a = 6q

একেদৰে r= 1, 2, 3, 4 আৰু 5 ৰ বাবে a ৰ মান ক্ৰমে 6q+1, 6q+2, 6q+3, 6q+4 আৰু 6q+5

যদি a = 6q, 6q+2, 6q+4, তেন্তে a এটা যুগ্ম সংখ্যা আৰু 2 ৰে হৰণযোগ্য । 6q+1, 6q+3  আৰু 6q+5, আৰ্হিৰ সংখ্যাবোৰ ধনাত্মক অযুগ্ম অখন্দসংখ্যা  য’ত q হৈছে কিছুমান অখন্দসংখ্যা

3. 616 জনীয়া সেনাবাহিনীৰ গোটে 32 জনীয়া এটা সেনাদলৰ পিছে পিছে কদম -খোজ কাঢ়ি কাঢ়ি যাবলগীয়া হল। দুয়োটা দলে একে সমান সংখ্যক স্তম্ভত কদম -খোজ কাঢ়িবলগীয়া হল । তেওঁলোকে খোজ কাঢ়িবলগীয়া স্তম্ভত উচ্চতম সংখ্যা কি হব ?

সমাধান:

দিয়া আছে ,

সেনাবাহিনীৰ দলৰ সদস্যৰ সংখ্যা = 616

সেনা দলৰ সদস্যৰ সংখ্যা = 32

যদি দুয়োটা গোটে একেটা স্তম্ভতে কদম -খোজ কাঢ়ি কাঢ়ি যাবলগীয়া  হয় তেন্তে আমি দুয়োটা গোটৰ মাজত HCF  বিচাৰি উলিয়াব লাগিব।

HCF(616, 32), য়ে তেওঁলোকে কদম -খোজ কাঢ়ি কাঢ়ি যাবলগীয়া  সৰ্বাধিক স্তম্ভৰ সংখ্যা হব ।

ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা ব্যৱহাৰ কৰি তেওঁলোকৰ HCF বিচাৰিলে আমি পাওঁ,

যিহেতু,

616>32, গতিকে,

616=32×19+4

যিহেতু, 4 ≠ 0, গতিকে, 32 নতুন ভাজক

32=8× 4+0

 গতিকে, HCF (616, 32) = 8

সেয়েহে তেওঁলোকে কাঢ়ি যাবলগীয়া স্তম্ভৰ সৰ্বাধিক সংখ্যা 8 টা।

4.ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা ব্যৱহাৰ কৰি দেখুওৱা যে যিকোনো যোগাত্মক অখন্দ সংখ্যাৰ বৰ্গই হয় 3m নাইবা 3m নাইবা 3m + 1 আৰ্হিৰ, যত m এটা কোনোবা অখন্দ সংখ্যা

সমাধান:

ধৰো,

x যিকোনো ধনাত্মক অখন্দ সংখ্যা আৰু y = 3

ইউক্লিডৰ বিভাজনৰ প্ৰমেয়িকা দ্বাৰা,

x = 3q + r  যত q≥0 আৰু r = 0, 1, 2, r ≥ 0 আৰু r < 3

⇒ x = 3q, 3q+1 আৰু 3q+2

 দুয়োফালে বৰ্গ কৰি আমি পাওঁ,

X² = (3q)² =9q² =3× 3q²

ইয়াত, 3q² = m

 ⇒x²= 3m————— (1)

X² = (3q+ 1)²=(3q)²+1²+2×3q×1 =9q²+1+6q = 3(3q²+2q) +1

ধৰো, 3q²+2q = m,

X²= 3m + 1 ————————(2)

X²= (3q + 2)² = (3q²+2²+2×3q×2)=9q²+4+12q = 3(3q²+4q + 1)+1

ধৰো , 3q²+4q+1 = m,

X²= 3m + 1…………………………… (3)

গতিকে সমীকৰণ 1, 2 আৰু 3 ৰ পৰা আমি ক’ব পাৰো যে যিকোনো ধনাত্মক অখন্দসংখ্যাৰ বৰ্গটো কোনো অখন্দসংখ্যা m ৰ বাবে 3m বা 3m + 1 ৰ আৰ্হিৰ হয়।

4. ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা ব্যৱহাৰ কৰি দেখুওৱা যে যিকোনো যোগাত্মক অখন্দসংখ্যাৰ ঘনফলটো 9m,9m + 1 বা9m + 8 আৰ্হিৰ ।

সমাধান:

ধৰো,

x যিকোনো ধনাত্মক অখন্দসংখ্যা আৰু y = 3

ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা দ্বাৰা,

x = 3q+r, য’ত q≥0 আৰু r = 0, 1, 2, r ≥ 0 আৰু r < 3 হিচাপে।

গতিকে r ৰ মান দিলে আমি পাম,

⇒x = 3q

⇒x = 3q + 1

⇒x = 3q + 2

এতিয়া ওপৰৰ তিনিওটা ঘনক লৈ আমি পাওঁ,

case(i): যেতিয়া r = 0, তেতিয়া,

⇒x³=(3q)³ = 27q³= 9(3q³)= 9m————————(1)

য’ত m = 3q³

case (ii): যেতিয়া r = 1, তেতিয়া,

X³ = (3q+1)³ = (3q)³+1³+3×3q×(3q+1) = 27q³+1+27q²+9q

9 ক সাধাৰণ(common) হিচাপে লৈ আমি পাওঁ,

X³ = 9(3q³+3q²+q)+1,

 য’ত (3q3+3q2+q) = m

ৰাখিলে আমি , পাম।

X³ = 9m+1————————————(2)

case (iii): যেতিয়া r = 2, তেতিয়া,

x³ = (3q+2)³= (3q)³+23+3×3q×2(3q+2)=27q³+54q²+36q+8

9 ক সাধাৰণ (common) হিচাপে লৈ আমি পাওঁ,

X³=9(3q³+6q²+4q)+8

য’ত (3q³+6q²+4q) = m ৰাখিলে আমি , পাম।

X³ = 9m+8————————————–(3)

গতিকে সমীকৰণ 1, 2 আৰু 3 ৰ পৰা আমি ক’ব পাৰো যে যিকোনো ধনাত্মক অখন্দসংখ্যাৰ ঘনফলটো কোনো অখন্দসংখ্যা m ৰ বাবে 9m বা 9m + 1 বা 9m+8 ৰ আৰ্হিৰ হয়।