Exercise – 6(B)
1. সত্য /অসত্য (T/F) লিখা ।
(a) নিখুঁত বৰ্গ এটাৰ বৰ্গমূল দুটা থাকে ।
(b) নিখুঁত বৰ্গ এটাৰ বৰ্গমূল ঋণাত্মক হব পাৰে ।
(c) মৌলিক সংখ্যা এটা বৰ্গ সংখ্যা হব পাৰে ।
(d) মৌলিক সংখ্যাৰ বৰ্গমূল অখণ্ড হব পাৰে ।
(e) এটা বৰ্গ সংখ্যাৰ মৌলিক উতদপাদক যোৰ হৈ থাকে ।
(f) যদি নিখুঁত বৰ্গ তেন্তে —
(i)\( \sqrt a+\sqrt b=\sqrt{a+b}\)
(ii) \( \sqrt a × \sqrt b=\sqrt{ab}\)
(iii) \(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
(g) যদি বৰ্গমূল থাকে —-
√যুগ্ম সংখ্যা = যুগ্ম
√অযুগ্ম সংখ্যা = অযুগ্ম
(h) \( \sqrt 0= 0\)
2. খালী ঠাই পূৰোৱা——-
(i) \( \sqrt 25\) = 5 (ii) \( \sqrt 81\) = 9
(iii) \( \sqrt 169\) = 13
(iv) \( \sqrt 144\) = 12 (v) \( \sqrt {{x^2}{y^2}}\) = xy
(vi) \( \sqrt{ {25}{x^2}}\) = 5x (vii) \( \sqrt{ {3^2}×{5^4}}\) = 75
(vii) \( \sqrt{{ 5^2}×{7^2}×{11^2}}\) = 385
3. মৌলিক উতপাদক সহায়ত বৰ্গমূল উলিওৱা ——-
(i) 225
Solution:-
225 = 5 × 5 × 3 × 3
= \( \sqrt{{ 5^2}×{3^2}}\)
= 5 × 3 = 15
(ii) 1089
Solution:
1089 = 3 × 3 × 11 × 11
= \( \sqrt{{ 3^2}×{11^2}}\)
= 3 × 11 = 33
(iii) 1764
Solution:-
1764 = 2 ×2×3×3× 7× 7
= \( \sqrt{{ 2^2}×{3^2}× {7^2}}\)
= 2 × 3 × 7 = 42
(iv) 4900
Solution:-
4900 = 7 × 7 × 5 × 5 × 2 × 2
= \( \sqrt{{ 7^2}×{5^2}× {2^2}}\)
= 7 × 5 × 2 = 70
(v) 44100
Solution:-
44100 = 3 × 3 × 7 × 7 × 5 × 5 × 2 × 2
= \( \sqrt{{3^2}× { 7^2}×{5^2}× {2^2}}\)
= 3 × 7 × 5 × 2 = 210
(vi) 4 × 3 × 15 × 20 × 49
Solution:-
4 × 3 × 15 × 20 × 49 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 2 × 2 × 5 × 7 × 7
= \( \sqrt{{2^2}× { 3^2}×{5^2}× {2^2}× {7^2}}\)
= 2 × 3 × 5 × 2 × 7= 420
(vii) 7 × 28 × 32 × \( \sqrt{{2^3}}\)
Solution:-
7×28×32 ×\(2^3\) = 7 × 7 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
=\( \sqrt{{7^2}× { 2^2}×{2^2}×{2^2}×{2^2}×{2^2}}\)
= 7 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2= 224
4. একে উতপাদক যোৰ কৰা । পিছত বৰ্গমূলবোৰ মুখে মুখে উলিয়াই লিখা । (সৰল কৰিব নালাগে)
(i) \(2^2\) × \(5^2\)
= \( \sqrt{{2^2}× { 5^2}}\)
= 10
(ii) \(6^4\) × \(7^2\)
= \( \sqrt{{6^2}× { 6^2}×{7^2}}\)
= 6 × 6 × 7 = 252
(iii) \((1/2)^2\) × 25
= \(\sqrt{\frac{1}{2^2}×{5^2}}\)
= \(\frac{5}{2}\)
(iv) \(13^4\) × \(7^6\)
= \( \sqrt{{13^2}× { 13^2}×{7^2}×{7^2}×{7^2}}\)
= 13 × 13 × 7 × 7× 7 = 57967
(v) \(2^4\) × 3 ×\(7^2\) × 33 × 11
= \( \sqrt{{2^2}× { 2^2}×{3^2}×{7^2}×{11^2}}\)
= 2 × 2 × 3 × 7 × 11
= 924
(vi) 4 × 36 × 81
= \( \sqrt{{2^2}× { 6^2}×{9^2}}\)
= 2 × 6 × 9
= 108
(vii) 12 × 21 × 20 × 35
= 3 × 4 × 3 × 7 × 4 × 5 × 5 × 7
= \( \sqrt{{3^2}× { 4^2}×{7^2}×{5^2}}\)
= 3 × 4 × 7 × 5
= 420
(viii) \( \sqrt{{5^2}× 6 ×{2^5}×{3^3}}\)
= \( \sqrt{{5^2}×{2^2}×{2^2}×{2^2}×{3^2}×{3^2}}\)
= 5 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
= 360
(ix) \(\frac{25}{4}\)
= \(\sqrt{\frac{25}{4}}\)
= \(\sqrt{\frac{5^2}{2^2}}\)
= \(\sqrt{\frac{5}{2}}\)
(x) 4\(\frac{21}{25}\)
= \(\frac{121}{25}\)
= \(\sqrt{\frac{121}{25}}\)
= \(\frac{11}{5}\)
(xi) \( \sqrt{(72)^2}\)
= 72
5. মান উলিওৱা — [ মন কৰা \(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) ]
(i) \( \sqrt{9}+\sqrt{25}\)
= \( \sqrt{3^2}+\sqrt{5^2}\)
= 3 + 2 = 5
(ii) \( \sqrt{81}+\sqrt{36}\)
= \( \sqrt{9^2}+\sqrt{6^2}\)
= 9 + 6 = 15
(iii) \( \sqrt{{49}× {64}}\)
= \( \sqrt{{7^2}× {8^2}}\)
= 7 × 8 = 56
(iv) \(\sqrt{\frac{144}{100}}-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{9}{25}}\)
= \(\sqrt{\frac{12^2}{10^2}}-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3^2}{5^2}}\)
= \(\frac{12}{10} -\frac{3}{10}\)
= \(\frac{12-3}{10}\)
= \(\frac{9}{10}\)
(v) \( \sqrt{{(72)}× {2}}\)
= \( \sqrt{144}\)
= \( \sqrt{12^2}\)
= 12
(vi) \( \sqrt{13^2 – 12^2}\)
= \( \sqrt{169 – 144}\)
= \( \sqrt{25}\)
= 5
(vii) 2 \( \sqrt{6^2 + 8^2}\)
= 2 \( \sqrt{36 + 64}\)
= 2 \( \sqrt{100}\)
= 2 \( \sqrt{10^2}\)
= 2 × 10 = 20
(viii) \(\sqrt{13(7^2 – 6^2})\)
= \(\sqrt{13(49 – 36})\)
= \(\sqrt{13(13})\)
= \(\sqrt{13^2}\)
= 13
(ix) \(\sqrt{6×6 + 3^2 + 2^2}\)
= \(\sqrt{36 + 9 + 4}\)
= \(\sqrt{49}\)
= 7
(x) \((\sqrt{16} – \sqrt{36})^2\)
= \((4 – 6)^2\)
= \((-2)^2\)
= 4
(xi) \(\sqrt{8^2 – 6^2 + 3^2 – 1^2}\)
= \(\sqrt{64 – 36 + 9 – 1}\)
= \(\sqrt{73 – 37}\)
= \(\sqrt{16}\)
= 4
(xii) \(\frac{1}{\sqrt{100}}\) +\(\sqrt{2\frac{1}{4}}\)
= \(\frac{1}{\sqrt{10^2}}\) +\(\sqrt{\frac{9}{4}}\)
= \(\frac{1}{10}\) +\(\sqrt{\frac{3^2}{2^2}}\)
= \(\frac{1}{10}\) +\(\frac{3}{2}\)
= \(\frac{1+15}{10}\)
= \(\frac{16}{10}\)
(xiii) \(\sqrt{1\frac{63}{81}}\) ÷ \(\sqrt{7+\frac{4}{36}}\)
= \(\sqrt{\frac{144}{81}}\) ÷ \(\sqrt{\frac{4+252}{36}}\)
= \(\sqrt{\frac{12^2}{9^2}}\) ÷ \(\sqrt{\frac{256}{6^2}}\)
= \(\frac{12}{9}\) ÷ \(\sqrt{\frac{16^2}{6^2}}\)
= \(\frac{12}{9}\) ÷ \(\frac{16}{6}\)
= \(\frac{12}{9}\)×\(\frac{6}{16}\)
= \(\frac{1}{2}\)
6. \( \sqrt{a^2 – b^2}\) ৰ মান উলিওৱা
যদি (i) a = 3 , b= 4
(ii) a = 12 , b = 16
Solution:-
(i) \( \sqrt{3^2 + 4^2}\)
= \( \sqrt{9 + 16}\)
= \( \sqrt{25}\)
= \( \sqrt{5^2}\)
= 5
(ii) \( \sqrt{12^2 + 16^2}\)
= \( \sqrt{144 + 256}\)
= \( \sqrt{400}\)
= \( \sqrt{20^2}\)
= 20
7. নিখুত বৰ্গ কোন কেইটা ? বাছি উলিয়াই বৰ্গমূল উলিওৱা ।
93 , 169 , 300 , 312 , 5184 , 749 , 9967 , 193678 , \(\frac{36}{25}\)
Solution:-
নিখুত বৰ্গবোৰ হৈছে
= 169, 5184 ,\(\frac{36}{25}\)
= 169 ৰ বৰ্গমূল 13
= 5184 ৰ বৰ্গমূল 72
= \(\frac{36}{25}\) ৰ বৰ্গমূল \(\frac{6}{5}\)
8. কোনবোৰ সত্য (T) কোনবোৰ অসত্য (F) উলিওৱা ।
(i) \(\sqrt{9×25}\) = ± 15
উওৰঃ- সত্য
(ii) \(\sqrt{3x^2}\) = 3x
উওৰঃ- অসত্য
(iii) \(\sqrt{3^2 x^2}\) = ± 3x
উওৰঃ- সত্য
(iv) \(\sqrt{3}+\sqrt{5}\) = \(\sqrt{3+5}\)
উওৰঃ- অসত্য
(v) \(\sqrt{7}-\sqrt{3}\) = \(\sqrt{7-3}\)
উওৰঃ- অসত্য
(vi) \(\sqrt{a^2 – b^2}\) = a-b
উওৰঃ- অসত্য
(vii) \(x^2 = 9\) হলে x = \(\pm\sqrt{9}\) বা \(\pm3\)
উওৰঃ- সত্য
- আটাইতকৈ কি ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যাৰে পূৰণ কৰিলে তলৰ সংখ্যাবোৰ নিখুঁত বৰ্গ হব ?
(i) 27
Solution:-
27 = 3 × 3 × 3
এতেকে পূৰণকৰিবলগীয়া সংখ্যাটো 3
(ii) 44
Solution:-
44 = 2 × 2 × 11
এতেকে পূৰণকৰিবলগীয়া সংখ্যাটো 11
(iii) 408
Solution:-
408 = 2 × 2 × 2 × 3 × 17
এতেকে পূৰণকৰিবলগীয়া সংখ্যাটো 51
10. তলৰ সংখ্যাকেইটাৰ ক্ষুদ্ৰতম গুণিতক উলিওৱা যাতে প্ৰত্যেকে একোটা নিখুঁত বৰ্গ হয় ।
(i) 32
Solution:-
32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2
এতেকে ক্ষুদ্ৰতম গুণিতক 3
(ii) 45
Solution:-
44 = 3 × 3 × 5
এতেকে ক্ষুদ্ৰতম গুণিতক 5
(iii) 468
Solution:-
468 = 2 × 2 × 3 × 3 × 13
এতেকে ক্ষুদ্ৰতম গুণিতক 13
(iv) 1584
Solution:-
1584 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 11
এতেকে ক্ষুদ্ৰতম গুণিতক 11
11. এটা ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যা উলিওৱা যি 6 , 9 আৰু 15 ৰে বিভাজ্য আৰু লগতে সংখ্যাটো নিখুঁত বৰ্গও ।
Solution:- দিয়া আছে,
সংথ্যাকেইটা হল = 6 , 9 , 15
6 , 9 , 15 ৰ ল.সা.গু = 90
90 = 2 × 3 × 3 × 5
এতেকে নিখুত বৰ্গটো হব = 2 × 2× 3 × 3 × 5 × 5
= 900
12. এটা ক্ষুদ্ৰতম বৰ্গ সংখ্যা উলিওৱা যি 18 আৰু 40 উভয়ৰে গুণিতক ।
Solution:-
18 আৰু 40 ল.সা.গু = 360
360 = 2 × 2× 2 × 3 × 3 × 5
এতেকে ক্ষুদ্ৰতম বৰ্গ সংখ্যাটো হব = 2 × 2× 2 × 3 × 3 × 5
= 2 × 2× 2 ×2× 3 × 3 × 5 × 5
= 3600
13. কোনটো ডাঙৰ , কোনটো সৰু ? মাজৰ বাকচত < , > চিন দিয়া ।
(a) > (b) > (c) > (d) >
14. সেনাৰ কেম্প এটাত নায়কজন 1764 জন সৈন্যক বৰ্গাকাৰ ৰোপত এনেদৰে থিয় কৰালে যাতে দীঘ পথালিৰ শাৰীত একে সমান সংখ্যক সৈন্য থাকে । প্ৰতি শাৰীত কেইজনকৈ থিয় হৈছিল ?
Solution:-
দিয়া আছে, মুঠ সৈন্যৰ সংখ্যা = 1764 জন
1764 = 2 × 2× 3 ×3× 7 × 7
∴ \( \sqrt{1764}\) = \( \sqrt{2^2 + 3^2 + 7^2}\)
= 2 × 3 × 7 = 42
∴ প্ৰতি শাৰীত 42 জনকৈ থিয় হৈছিল
15. এখন বিদ্যালয়ৰ ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে সদায় এটা বৰ্গাকাৰ আকৃতিত থিয় হৈ প্ৰাৰ্থনা কৰে । সিদিনা দেখিলে যে 430 জনহে উপস্থিত কাৰণে বৰ্গতো পূৰা নহল । ছাত্ৰ – ছাত্ৰী অতি কমেও কেইজন সিদিনা স্কুললৈ অহা নাছিল ?
Solution:- 430 ৰ ওচৰৰ বৰ্গ সংখ্যাটো 441 গতিকে সিদিনা অতি কমেও 11 জন স্কুললৈ অহা নাছিল
16. এখন গাঁও বানপানীত ডুব যোৱাত চৰকাৰে সাহায্য দিলে । যিমান মানুহ প্ৰচিজনকে সিমান টকাকৈ সাহায্য দিয়াত গাঁওখনে মুঠ 23,716 টকা পালে । গাঁৱত মুঠ মানুহ কিমান ?
Solution:-
দিয়া আছে, মুঠ টকাৰ পৰিমান = 23,716 টকা
23,716 = 2 × 2× 7 ×7× 11 × 11
∴ \( \sqrt{23716}\) = \( \sqrt{2^2 + 7^2 + 11^2}\)
= 2 × 7 × 11 = 145
∴ গাঁৱত মুঠ মানুহ 145 জন