CLASS 8 CHAPTER 2 । দুটা চলকযুক্ত ৰৈখিক সমীকৰণ। EXERCISE- 2C। SVN/ SANKARDEV SISHU/BIDYA NIKETAN । BIDYA BHARATI

অনুশীলনী – 2 (C)

1. এটা আয়তৰ পৰিসীমা \(90\) চে. মি আৰু ইয়াৰ প্ৰস্থ \(15\) চে. মি । আয়তটোৰ দৈৰ্ঘ কিমান? 

সমাধানঃ-

ধৰোঁ, আয়তটোৰ দৈৰ্ঘ = \(x\) 

পৰিসীমা = 2 (দৈৰ্ঘ + প্ৰস্থ)

\(\Rightarrow\) পৰিসীমা = \(2 (15 + x)\) 

\(\Rightarrow\) \(90 = 2 (15 + x)\) 

\(\Rightarrow\) \(\frac{90}{2} = 15 + x\) 

\(\Rightarrow 45 = 15 + x\) 

\(\Rightarrow 45 – 15 = x\) 

\(\Rightarrow x = 30\) 

\(\therefore\) দৈৰ্ঘ = \(30\) চে. মি 

2. দুটা সংখ্যাৰ যোগফল \(120\) । যদি এটা সংখ্যা আনটোক \(20\) দ্বারা ভগে, সংখ্য দুটা কি কি?

সমাধানঃ 

ধৰোঁ, আনটো সংখ্যা = \(X\) 

\(\therefore\) প্ৰথমটো সংখ্যা = \(X + 20\) 

প্ৰশ্নমতে, 

\(\Rightarrow 120 = X + X + 20\) 

\(\Rightarrow 120 = 2X + 20\) 

\(\Rightarrow 120 – 20 = 2X\) 

\(\Rightarrow 100 = 2X\) 

\(\Rightarrow \frac{100}{2} = X\) 

\(\Rightarrow X = 50\) 

\(\therefore\) সংখ্যা দুটা হৈছে = \(50, 70\) 

\( 3. \) এটা পৰিৱেশ সংখ্যা \( \frac{4}{11} \) । ইয়াৰ সমান হলে \( -\frac{3}{5} \) ৰ ভিত্তিৰ গঢ়ত কি সংখ্যা যোগ দিব লাগিব? 

সমাধানঃ

ধৰোঁ, যোগ কৰিবলগীয়া সংখ্যাটো = \(X\) 

প্ৰশ্নমতে, 

\(-3 \times \frac{3}{5} + X = \frac{4}{11}\) 

\(\Rightarrow -\frac{9}{5} + X = \frac{4}{11}\) 

\(\Rightarrow X = \frac{4}{11} + \frac{9}{5}\) 

\(\Rightarrow X = \frac{4 \times 5 + 9 \times 11}{55}\) 

\(\Rightarrow X = \frac{20 + 99}{55}\) 

\(\Rightarrow X = \frac{119}{55}\) 

\(\therefore\) যোগ কৰিবলগীয়া সংখ্যাটো = \( \frac{119}{55} \)   \

4. এখন আয়তকাৰ বাগিছাৰ দীঘ আৰু প্ৰস্থৰ অনুপাত 31 আৰু ক্ষেত্ৰফল 192 বৰ্গ মিটাৰ । বাগিছাখনৰ দীঘ আৰু প্ৰস্থ কিমান ।

সমাধানঃ-

\( X \times 3X = 192 \) 

  \( \Rightarrow 3X^2 = 192 \) 

  \( \Rightarrow X^2 = \frac{192}{3} \) 

  \( \Rightarrow X^2 = 64 \) 

  \( \Rightarrow X = \sqrt{64} \) 

  \( \Rightarrow X = 8 \) 

∴ \( = 3 \times 8 = 24 \) cm

\( = 8 \) cm

5. এজন শিক্ষকে 210 গৰাকী ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ প্ৰত্যেককে পৰীক্ষাৰ বাবে শুভেচ্ছাৰ দিন স্বৰূপে একোটাকৈ কলম উপহাৰ দিলে । ছাত্ৰসকলক দিয়া কলম একোটাৰ দাম 10 টকা আৰু ছাত্ৰীসকলক দিয়া কলম একোটাৰ দাম 12 টকা । যদি শিক্ষকজনৰ মুঠ 2280 টকা খৰচ হল তেন্তে ছাত্ৰ আৰু ছাত্ৰীৰ সংখ্যা কিমান উলিওৱা .

সমাধানঃ-

ধৰো, ছাত্ৰৰ সংখ্যা = x

ছাত্ৰীৰ সংখ্যা = 210-X

প্রশ্নমতে,

\(⇒ 10X+12x(210-X)=2280\)

\(\implies 10X + 12\times 210 – 12X = 2280\)

\(⇒-2X+2520=2280\)

\(\implies -2X= 2280-2520\)

\(⇒-2X=-240\)

\(\implies x =\frac{-240}{-2}=170\)

ছাত্ৰৰ সংখ্যা = 170 জন

ছাত্ৰীৰ সংখ্যা = 210-170 = 40 জনী

6. এটা আয়তাকাৰ ক্ষেত্ৰৰ দৈৰ্ঘ, প্ৰস্থৰ তিনিগুণ আৰু ক্ষেত্ৰফল \(192\) বর্গমিটাৰ।  এই ক্ষেত্ৰটোৰ সমান পৰিসীমা বিশিষ্ট এটি বৰ্গাকাৰ ক্ষেত্ৰৰ ক্ষেত্ৰফল আয়তাকাৰ ক্ষেত্ৰটোৰ ক্ষেত্ৰফলতকৈ কিমান বেছি হ’ব নিৰ্ণয় কৰা। 

সমাধানঃ- 

ধৰোঁ, আয়তাকাৰ ক্ষেত্ৰৰ প্ৰস্থ = \(X\) 

\(\therefore\) দৈৰ্ঘ্য = \(3X\) 

প্ৰশ্নমতে, 

প্ৰস্থ\(\times\)দৈৰ্ঘ = 192\) 

\(\Rightarrow X \times 3X = 192\) 

\(\Rightarrow 3X^2 = 192\) 

\(\Rightarrow X^2 = \frac{192}{3}\) 

\(\Rightarrow X^2 = 64\) 

\(\Rightarrow X = \sqrt{64}\) 

\(\Rightarrow X = 8\) 

\(\therefore\) প্ৰস্থ = \(8\) cm 

\(\therefore\) দৈৰ্ঘ = \(3 \times 8 = 24\) cm 

আয়তাকাৰ ক্ষেত্ৰখনৰ পৰিসীমা 

= 2 (দৈৰ্ঘ + প্ৰস্থ)

= 2 (24 + 8)

\(= 2 \times 32\)

\(= 64\) cm   

আকৌ প্রশ্নমতে, আয়তাকাৰ ক্ষেত্ৰখনৰ পৰিসীমা
⇒ 64 = 4 × বাহুৰ দীঘ
⇒ \(\frac{64}{4}\) = বাহুৰ দীঘ
⇒ 16 = বাহুৰ দীঘ
: বর্গাকাৰ ক্ষেত্ৰখনৰ বাহুৰ দীঘ = 16 cm
. বর্গাকাৰ ক্ষেত্ৰখনৰ কালি = 16 x 16 =\(256 cm^2\)

বর্গাকাৰ ক্ষেত্ৰখনৰ পৰিসীমা
. বর্গাকাৰ ক্ষেত্ৰৰ ক্ষত্রফল আয়তাকাৰ ক্ষেত্ৰটোৰ ক্ষেত্ৰফলতকৈ
= 256-192
= 64 \(cm^2\)

7. বাপেক আৰু পুতেকৰ বয়সৰ সমষ্টি 46 বছৰ। পুতেকৰ বয়সতকৈ বাপেকৰ বয়স 28 বছৰ বেছি। কাৰ বয়স কিমান

ধৰো, পুতেকৰ বয়স = X বছৰ

:: বাপেকৰ বয়স = X + 28 বছৰ

প্রশ্নমতে,

পুতেকৰ বয়স + বাপেকৰ বয়স = 46

\(⇒ x + x + 28 = 46\)

\(⇒ 2x + 28 = 46\)

\(⇒ 2x = 46 – 28\)

\(⇒ 2x = 18\)

\(⇒ x = 9 = \frac{18}{2}=9\)

পুতেকৰ বয়স = 9 বছৰ

বাপেকৰ বয়স = 9 +28 = 37 বছৰ

৪. দুটা পূৰ্ণ সংখ্যাৰ অনুপাত 3:5। যদি সিহঁতৰ সমষ্টি 160 তেন্তে সংখ্যা দুটা কি কি?

Solution:-
ধৰো, সংখ্যা দুটা = 3X আৰু 5X
প্রশ্নমতে, 3X + 5X = 160
\(\implies 8X = 160\)
\(⇒ X = \frac{160}{8}=20\)
:. X = 20
সংখ্যা দুটা = 60 আৰু 100

9.7ৰ তিনিটা ক্রমিক গুণিতকৰ যোগফল 105 হ’লে সেই গুণিতককেইটা কি কি ?
সমাধানঃ-
ধৰো, 7 গুণিতকবোৰ হৈছে\(= 7x, 7 (x+1), 7 (x + 2 )\)
প্রশ্নমতে,\(7x + 7(x + 1 ) + 7 (x + 2) = 105\)
\(⇒ 7x + 7x + 7 + 7x + 14 = 105\)
\(⇒ 21x + 21 = 105\)
\(⇒ 21x = 105 – 21\)
\(⇒ 21x = 84\)
⇒ x =\(\frac{84}{21}\)
⇒ x = 4

7 ৰ তিনিটা ক্রমিক গুণিতক হৈছে =\( 7 \times 4 = 28\)
\(= 7(4 + 1) = 7 \times 5 = 35\)
\(=7(4+2) = 7 \times6 = 42\)

10) দুজন ব্যক্তি A আৰু B । এৰ বৰ্তমান বয়স B ৰ বৰ্তমান বয়সৰ দুগুণ । 6 বছৰৰ পিছত সিহঁতৰ বয়সৰ অনুপাত হ’ব 9:51 A আৰু Bৰ বর্তমান বয়স কিমান?

সমাধানঃ- ধৰো, B ৰ বৰ্তমান বয়স = x বছৰ
A ৰ বৰ্তমান বয়স = 2x বছৰ

6 বছৰৰ পিছত B ৰ বৰ্তমান বয়স = (x + 6 ) বছৰ

6 বছৰৰ পিছত A ৰ বৰ্তমান বয়স = (2X+6) বছৰ
প্রশ্নমতে,

\(\implies\frac{2X+6}{x+6} = \frac{5}{9}\)
\(⇒ 5 ( 2x + 5) = 9 (x+ 6)\)
\(\implies 10X + 25 = 9X + 54\)
\(\implies 10X – 9X = 54 – 25\)
\(⇒ x = 29\)
Bৰ বৰ্তমান বয়স = 29 বছৰ
A ৰ বৰ্তমান বয়স = 58 বছৰ

4. দুটা পূৰ্ণ সংখ্যাৰ অনুপাত \(3:5\) । যদি সিহঁতৰ সমষ্টি \(160\) তেন্তে সংখ্যা দুটা কি কি? 

ধৰোঁ, সংখ্যা দুটা = \(3X\) আৰু \(5X\) 

প্ৰশ্নমতে, 

\(3X + 5X = 160\) 

\(\Rightarrow 8X = 160\) 

\(\Rightarrow X = \frac{160}{8}\) 

\(\Rightarrow X = 20\) 

\(\therefore\) সংখ্যা দুটা হৈছে \(3 \times 20 = 60\) আৰু \(5 \times 20 = 100\) 

—

11. এটা সংখ্যাৰ \(7\) গুণৰ পৰা আন এটা সংখ্যাৰ \(5\) গুণ বিয়োগ কৰিলে  বিয়োগফলটো প্ৰথম সংখ্যাটোৰ \(4\) গুণৰ সমান হয়। যদি সংখ্যা দুটাৰ যোগফল \(8\) তেন্তে সেই সংখ্যা দুটা কি কি? 

সমাধানঃ-

ধৰোঁ, এটা সংখ্যা \(= X\) 

আনটো সংখ্যা \(= 8 – X\) 

প্ৰশ্নমতে, 

\(\implies 7x – 5 \times (8 – x) = 4x\)

\(\Rightarrow 7x – 40 + 5x = 4x\) 

\(\Rightarrow 12x – 4x = 40\) 

\(\Rightarrow 8x = 40\) 

\(\Rightarrow x = \frac{40}{8}\) 

\(\Rightarrow x = 5\) 

\(\therefore\) প্ৰথম সংখ্যা \(= 5\) 

\(\therefore\) দ্বিতীয় সংখ্যা \(= 8 – 5 = 3\)   

12. ঊর্ধ্বক্রমত থকা তিনিটা ক্রমিক পূৰ্ণ সংখ্যাক ক্ৰমে \(4\) আৰু 3,2 ৰে পূৰণ কৰিলে  যি সংখ্যাকেইটা পোৱা গ’ল সেইকেইটাৰ সমষ্টি \(142\) হ’লে পূৰ্ণ সংখ্যাকেইটা নিৰ্ণয় কৰা। 

সমাধানঃ-

ধৰোঁ, তিনিটা ক্রমিক পূৰ্ণ সংখ্যা \(x, x+1, x+2\) 

প্ৰশ্নমতে,

\(\Rightarrow 4x + 3(x+1)+ 2(x+2)\) 

\(\Rightarrow 9X + 7 = 142\) 

\(\Rightarrow 9X = 142 – 7\) 

\(\Rightarrow 9X = 135\) 

\(\Rightarrow X = \frac{135}{9}\) 

\(\Rightarrow X = 15\) 

\(\therefore\) পূৰ্ণ সংখ্যাসমূহ হৈছে \(15, 16, 17\) 

—

13. \(100\) টকীয়া, \(50\) টকীয়া আৰু \(10\) টকীয়া নোট মিলি এজন মানুহৰ  হাতত থকা টকাৰ পৰিমাণ \(5,50,000\) টকা।  যদি এই নোটবিলাকৰ অনুপাত ক্ৰমে \(3:4:5\) তেন্তে  প্ৰতিটো ভাগৰ কিমান সংখ্যক নোট মানুহজনৰ হাতত আছিল? 

সমাধানঃ

ধৰোঁ, 

\(100\) টকীয়া নোট পৰিমাণ = \(3x\) 

\(50\) টকীয়া নোট পৰিমাণ = \(4x\) 

\(10\) টকীয়া নোট পৰিমাণ = \(5x\) 

প্ৰশ্নমতে, 

\(\implies 100 \times 3x + 50 \times 4x + 10 \times 5x = 5,50,000\)

\(\implies 300x + 200x + 50x = 5,50,000\)

\(\implies 1000x= 5,50,000\)

\(\implies x = \frac{5,50,000}{1000}\)

\(\implies x = 550\)

\(\therefore\)  \(100\) টকীয়া নোট পৰিমাণ = \(3 \times 550 = 1650\) টা 

\(50\) টকীয়া নোট পৰিমাণ = \(4 \times 550 = 2200\) টা 

\(10\) টকীয়া নোট পৰিমাণ = \(5 \times 550 = 2750\) টা   

14) এখন ৰে’লগাড়ীয়ে বাটৰ কাষত থকা এটা চিগনেল প’ষ্ট অতিক্ৰম কৰিবলৈ 5 ছেকেণ্ড সময় লয় আৰু 540 মিটাৰ দীঘল দলং এখন অতিক্ৰম কৰিবলৈ 15 ছেকেণ্ড সময় লয। ৰে’লগাড়ীখনৰ দীৰ্ঘ আৰ গতিবেগ উলিওৱা ।
সমাধান :-
ধৰো ৰে’লগাড়ীখন x মিটাৰ দীঘল। যদি ৰেলগাড়ীখনে সমবেগতে চিগনেল প’ষ্ট আৰু দলংখন পাৰ হৈছে বুলি ধৰা হয় তেন্তে চিগনেলপ’ষ্ট পাৰ হোৱা বেগ = দলং পাৰ হোৱা বেগ।
\(\implies\frac{x}{5} =\frac{x+540}{15}\)

\(\implies x =\frac{x+540}{3}\)
\(\implies 3x = x +540\)
\(⇒ 2x = 540\)
\(\implies x = \frac{540}{2}\)
⇒ x = 270

ৰে’লগাড়ীখনৰ দৈৰ্ঘ্য = 270 মিটাৰ
ৰে’লগাড়ীখনৰ গতিবেগ = 54 মিটাৰ/ছেকেণ্ড

15) সপ্তম শ্ৰেণীৰ বাৰ্ষিক পৰীক্ষাত এজন ছাত্রই বিজ্ঞানত যি নম্বৰ পাইছে অংকত তাতকৈ 10 বেছি পাইছে আৰু ইংৰাজীত পোৱা নম্বৰ বিজ্ঞানৰ নম্বৰতকৈ 5 কম। যদি এই তিনিটা বিষয়ত তেওঁ পোৱা মুঠ নম্বৰ 254 তেন্তে তেওঁ কোন বিষয়ত কিমান নম্বৰ পাইছিল?
সমাধানঃ- ধৰো, বিজ্ঞানত পোৱা নম্বৰ = X
অংকত পোৱা নম্বৰ = x + 10
ইংৰাজীত পোৱা নম্বৰ = x – 5

প্রশ্নমতে, \(x+x+ 10 + x – 5 = 254\)

\(\implies 3x + 5 = 254\)
\(\implies 3x = 254-5\)
\(\implies 3x = 249\)
\(\implies x = 249/3\)
\(\implies 3x = 254-5\)
\(\implies 3x = 249\)
\(\implies x = 249 /3\)
\(\therefore x = 83\)
বিজ্ঞানত পোৱা নম্বৰ = \(x = 83\)
অংকত পোৱা নম্বৰ \(= x + 10 = 83+10 = 93\)
ইংৰাজীত পোৱা নম্বৰ \(= x – 5 = 835 = 78\)