Class 10 Maths Solution in Assamese medium ।Chapter 4।Exercise 4.4 Solution । দশম শ্ৰেণীৰ গণিত । অনুশীলনী 4.4
অনুশীলনী – 4.4
1. তলৰ দ্বিঘাত সমীকৰণবোৰৰ মূলবোৰৰ প্ৰকৃতি নিৰ্ণয় কৰা। যদি বাস্তৱ মূল থাকে তেন্তে সেইবোৰ উলিওৱা।
\((i) 2x^2 – 3x + 5 = 0\)
Solution:-
ইয়াত , \(a = 2, \; b = -3, \; c = 5\)
\(\therefore b^2 – 4ac\)
\(= (-3)^2 – 4 \times 2 \times 5\)
\(= 9 – 40\)
\(= -31 < 0\)
\(\therefore \)ইয়াৰ কোনো বাস্তৱ মূল নাই।
(ii) 3x2 – 4√3x + 4 = 0
Solution:-
ইয়াত,
\(a = 3,\; b = -4\sqrt{3},\; c = 4\)
\(\therefore b^2 – 4ac\)
\(= (-4\sqrt{3})^2 – 4 \times 3 \times 4\)
\(= (16 \times 3) – 48\)
\(= 48 – 48 = 0\)
\(\therefore\) সমীকৰণটোৰ এটা বাস্তৱ দ্বৈত মূল আছে।
মূলটো হ’ব:
\(x = \frac{-b}{2a} = \frac{4\sqrt{3}}{2 \times 3} = \frac{4\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{3}\)
\(\therefore x = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}\)
(iii) 2x2 – 6x + 3 = 0
Solution:-
ইয়াত,
\(a = 2,\; b = -6,\; c = 3\)
\(\therefore b^2 – 4ac\)
\(= (-6)^2 – 4 \times 2 \times 3\)
\(= 36 – 24\)
\(= 12 > 0\)
\(\therefore\) সমীকরণটোৰ দুটা বাস্তৱ আৰু অসমান মূল আছে।
মূল দুটা হ’ব:
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{4}\)
\(\implies x = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{4}\)
\(\implies\frac{2(3 \pm \sqrt{3})}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{2}\)
\(\therefore\) \(x = \dfrac{3 + \sqrt{3}}{2}\) আৰু \(x = \dfrac{3 – \sqrt{3}}{2}\)
(iv) \(9x^2 – 6x + 1 = 0\)
ইয়াত,
\(a = 9,\; b = -6,\; c = 1\)
\(\therefore b^2 – 4ac\)
\(= (-6)^2 – 4 \times 9 \times 1\)
\(= 36 – 36\)
\(= 0\)
\(\therefore\) সমীকরণটোৰ এটা বাস্তৱ দ্বৈত মূল (একেটা মূল দুবাৰ) আছে।
মূলটো হ’ব:
\(\therefore x = \frac{-b}{2a} = \frac{6}{2 \times 9} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}\)
\(\therefore\) \(x = \dfrac{1}{3}\) (দুইটা মূল একে)
(v) 3x2 – 5x + 12 = 0
Solution:-
ইয়াত,
a = 3, b = -5 আৰু c = 12
∴ b2 – 4ac
= (-5)2 – 4.3.12
= 25 – 144
= – 119 < 0
∴ ইয়াৰ কোনো বাস্তৱ মূল নাই।
(vi) x2 + x + 1 = 0
ইয়াত,
a = 1, b = 1 আৰু c = 1
∴ b2 – 4ac
= 12 – 4.1.1
= 1 – 4
= -3 < 0
∴ ইয়াৰ কোনো বাস্তৱ মূল নাই।
(vii) x2 – 2√3x – 9 = 0
Solution:-
ইয়াত,
\(a = 1,\; b = -2\sqrt{3},\; c = -9\)
\(\therefore b^2 – 4ac\)
\(= (-2\sqrt{3})^2 – 4 \times 1 \times (-9)\)
\(= (4 \times 3) + 36\)
\(= 12 + 36 = 48 > 0\)
\(\therefore\) সমীকরণটোৰ দুটা বাস্তৱ আৰু অসমান মূল আছে।
মূল দুটা হ’ব:
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{48}}{2}\)
\(\implies\quad x = \frac{2\sqrt{3} \pm 4\sqrt{3}}{2}\)
\(\therefore\;\;\; = \frac{2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}}{2}\) আৰু \(\frac{2\sqrt{3} – 4\sqrt{3}}{2}\)
\(= \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\) আৰু \(\frac{-2\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}\)
\(\therefore\) সমাধান: \(x = 3\sqrt{3}) আৰু (x = -\sqrt{3}\)
2. তলৰ দ্বিঘাত সমীকৰণবোৰৰ প্ৰতিটোৰে ক্ষেত্ৰত k ৰ মান উলিওৱা, যাতে সিহঁতৰ দুটাকৈ বাস্তৱ মূল থাকে।
(i) 2x2 + kx + 3 = 0
Solution:-
∵ সমীকৰণটোৰ দুটা সমান মূল আছে।
∴ b2 – 4ac = 0
⇒ k2 – 4.2.3 = 0
⇒ k2 = 24
⇒ k = √24
⇒ k = 2√6 নাইবা k = -2√6
(ii) kx(x – 2) + 6 = 0
Solution:-
\(\implies kx(x−2)+6=0\)
\(\implies kx^2 – 2kx + 6 = 0\)
এতিয়া, \(a=k,\; b=−2k,\; c=6\)
∵ সমীকৰণটোৰ দুটা সমান মূল আছে।
\(\therefore b^2 – 4ac = 0\)
\(\implies (-2k)^2 – 4\times k\times 6 = 0\)
\(\implies 4k^2 – 24k = 0\)
\(\implies 4k^2 = 24k \)
\(\implies 4k= 24 \)
\(\implies k=\frac {24}{4}=6 \)
(iii) x2 – (k + 4)x + 2k + 5 = 0
∵ ইয়াৰ দুটা সমান বাস্তৱ মূল আছে
∴ b2 – 4ac = 0
⇒ (k + 4)2 – 4.1.(2k + 5) = 0
⇒ k2 + 16 + 8k – 8k – 20 = 0
⇒ k2 – 4 = 0
⇒ k2 = 4
⇒ k = 2 নাইবা k = -2
(iv) 2x2 + 8x – k3 = 0
∵ ইয়াৰ দুটা সমান বাস্তৱ মূল আছে
∴ b2 – 4ac = 0
⇒ 82 – 4.2.(-k)3 = 0
⇒ 64 – 8k3 = 0
⇒ 8k3 = 64
⇒ k3 = 8
⇒ k = 2
(v) (k – 3)x2 + 2(k – 1)x + 2 = 0
∵ ইয়াৰ দুটা বাস্তৱ মূল আছে
∴ b2 – 4ac = 0
⇒ {2(k – 3)}2 – 4.(k – 3).2 = 0
⇒ 4(k2 + 9 – 6k) – 8k + 24 = 0
⇒ k2 + 9 – 6k – 2k + 6 = 0
⇒ k2 – 8k + 15 = 0
⇒ k2 – 5k – 3k + 15 = 0
⇒ k(k – 5) – 3(k – 5) = 0
⇒ (k – 5)(k – 3) = 0
⇒ k – 5 = 0 নাইবা k – 3 = 0
⇒ k = 5 নাইবা k = 3
(vi) (k – 12)x2 + 2(k – 12)x + 2 = 0
∵ ইয়াৰ দুটা সমান বাস্তৱ মূল আছে
∴ b2 – 4ac = 0
⇒ {2(k – 12)}2 – 4.(k – 12).2 = 0
⇒ 4(k2 + 144 – 24k) – 8k + 96 = 0
⇒ k2 + 144 – 24k – 2k + 24 = 0
⇒ k2 – 26k + 168 = 0
⇒ k2 – 12k – 14k + 168 = 0
⇒ k(k – 12) – 14(k – 12) = 0
⇒ (k – 12)(k – 14) = 0
⇒ K – 12 = 0 নাইবা k – 14 = 0
⇒ k = 12 নাইবা k = 14
3. প্ৰস্থতকৈ দীঘ দুগুণ হোৱাকৈ এখন আয়তাকাৰ আমৰ বাগিছাৰ চানেকি প্ৰস্তুত কৰাটো সম্ভৱ হ’বনে যাতে ইয়াৰ কালি 800 বৰ্গমিটাৰ হয়? যদি সম্ভৱ, ইয়াৰ দীঘ আৰু প্ৰস্থ উলিওৱা।
Solution:-
∵ প্ৰস্থতকৈ দীঘ দুগুণ হোৱাকৈ এখন আয়তাকাৰ আমৰ বাগিছাৰ চানেকি প্ৰস্তুত কৰা হৈছে।
∴ ক্ষেত্ৰফল = 800 বৰ্গমিটাৰ
প্ৰশ্নমতে,
\(\implies 2x \times x = 800\)
\(\implies 2x^2 = 800\)
\(\implies x^2 = \frac{800}{2}\)
\(\implies x^2 = 400\)
\(\implies x = \sqrt{400}\)
\(\implies x = 20\)
∴ প্ৰস্থ = \(x = 20\) মিটাৰ, আৰু দীঘ = \(2x = 40\) মিটাৰ।
4. তলৰ পৰিস্থিতিটো সম্ভৱ হয়নে? যদি হয়, তেওঁলোকৰ বৰ্তমান বয়স নিৰ্ণয় কৰা।
দুজন বন্ধুৰ বয়সৰ সমষ্টি 20 বছৰ। চাৰি বছৰ আগতে তেওলোকৰ বয়সৰ পূৰণফল আছিল 48।
Solution:-
∵ দুজন বন্ধুৰ বয়সৰ সমষ্টি 20 বছৰ।
∴ চাৰি বছৰ আগতে তেওলোকৰ বয়সৰ পূৰণফল আছিল 48।
ধৰো,
প্ৰথম বন্ধুৰ বৰ্তমান বয়স = \(x\)
দ্বিতীয় বন্ধুৰ বৰ্তমান বয়স = \(20 – x\)
চাৰি বছৰ আগতে:
প্ৰথম বন্ধুৰ বয়স = (x – 4)
দ্বিতীয় বন্ধুৰ বয়স = (16 – x)
প্ৰশ্নমতে,
\(\implies (x – 4)(16 – x) = 48\)
\(\implies 16x – x^2 – 64 + 4x = 48\)
\(\implies x^2 + 20x – 112 = 0\)
\(\implies x^2 – 20x + 112 = 0\)
\(\therefore D = 20^2 – 4 \times 112 = 400 – 448 = -48\)
সেয়ে কোনো বাস্তৱ মূল নাই। তলৰ পৰিস্থিতিটো সম্ভৱ নহয়।
5. পৰিসীমা 80 মিটাৰ আৰু কালি 400 বৰ্গমিটাৰ হোৱাকৈ এখন আয়তাকাৰ উদ্যানৰ চানেকি কৰাটো সম্ভৱনে? যদি হয়, ইয়াৰ দীঘ আৰু প্ৰস্থ উলিওৱা।
Solution:-
দিয়া আছে:
পৰিসীমা = 80 মিটাৰ
কালি = 400 বৰ্গমিটাৰ
ধৰা হ’ল:
দীঘ = \(x\) মিটাৰ
প্ৰস্থ = \(y\) মিটাৰ
প্ৰশ্নমতে,
\(\therefore 2(x + y) = 80 \)
\(\implies x + y = 4…………………..(i)\)
\(\implies x \cdot y = 400…………………….(ii)\)
সমীকৰণ (i) ৰ পৰা:
\(\implies y = 40 – x\)
সমীকৰণ (ii) ত
\(\implies x(40 – x) = 400\)
\(\implies 40x – x^2 = 400 \)
\(\implies x^2 – 40x + 400 = 0\)]
\(\therefore x = \frac{40 \pm \sqrt{(-40)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 400}}{2 \cdot 1} \)
\(\implies x = \frac{40 \pm \sqrt{1600 – 1600}}{2} \)
\(\implies x= \frac{40 \pm 0}{2} = 20\)
সেয়েহে,
\(\therefore x = 20 \)মিটাৰ, \(y = 40 – 20 = 20\) মিটাৰ
দীঘ x = 20 মিটাৰ, প্ৰস্থ y = 20 মিটাৰ (এখন বৰ্গাকাৰ উদ্যান)