Class 10 Maths exercise -3.4 solution । দুটা চলক ৰৈখিকযোৰ সমীকৰণ। অনুশীলনী-3.5 seba/hslc ।গণিত
অনুশীলনী-3.5
1. তলৰ কোনকেইটা ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰৰ অদ্বিতীয় সমাধান আছে, সমাধান নাই, নাইবা অসীম সংখ্যক সমাধান আছে? যদি অদ্বিতীয় সমাধান আছে, সেই ক্ষেত্রত বজ্র-গুণন পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰি সমাধা কৰা।
\((i) x-3y=0\)
\( 3x-9y = 0\)
উত্তৰঃ
ইয়াত, \(a₁ = 1, b₁ = -3, c₁ = -3\)
\(a₂ = 3, b₂ = -9, c₂ = -2\)
এতিয়া,\(\frac {a₁}{a₂} = \frac{1}{3}, \frac{b₁}{b₂} =\frac{ -3}{-9} =\frac{ 1}{3},\frac{c₁}{c₂} =\frac{-3}{-2} =\frac{ 3}{2}\)
∴ \(\frac{a₁}{a₂} =\frac{b₁}{b₂} ≠\frac{c₁}{c₂}\)
∴ প্রদত্ত সমীকৰণ দুটাৰ কোনো সমাধান নাই।
(ii) 2x + y = 5
3x + 2y = 8
উত্তৰঃ
ইয়াত, \(a₁ = 2, b₁ = 1, c₁ = -5\)
\(a₂ = 3, b₂ = 2, c₂ = -8\)
এতিয়া,\(\frac {a₁}{a₂} = \frac{2}{3}, \frac{b₁}{b₂} =\frac{ 1}{2} ,\frac{c₁}{c₂} =\frac{-5}{-8} =\frac{ 5}{8}\)
∴ \(\frac{a₁}{a₂} ≠\frac{b₁}{b₂} ≠\frac{c₁}{c₂}\)
∴ প্রদত্ত সমীকৰণ প্ৰণালীৰ অদ্বিতীয় সমাধান আছে অর্থাৎ সংগত আৰু একক সমাধান যুক্ত হ’ব।
\[ \begin{aligned} 2x + y &= 5 \\ 3x + 2y &= 8 \end{aligned} \]বজ্ৰগুনণ পদ্ধতিমতে,
\[ \frac{x}{b_1 c_2 – b_2 c_1} = \frac{y}{c_1 a_2 – c_2 a_1} = \frac{1}{a_1 b_2 – a_2 b_1} \]\[ \begin{aligned} \implies\frac{x}{(1)(-8) – (2)(-5)} &= \frac{y}{(-5)(3) – (-8)(2)} = \frac{1}{(2)(2) – (3)(1)} \\ \implies\frac{x}{-8 + 10} &= \frac{y}{-15 + 16} = \frac{1}{4 – 3} \\ \implies\frac{x}{2} &= \frac{y}{1} = 1 \\ \end{aligned} \]\(\therefore x = 2 \times 1 = 2 \) আৰু \( y = 1 \times 1 = 1 \).
(iii) 3x – 5y = 20
6x – 10y = 40
উত্তৰঃ
ইয়াত, \(a₁ = 3, b₁ = -5, c₁ = -20\)
\(a₂ = 6, b₂ = -10, c₂ = -40\)
এতিয়া,\(\frac {a₁}{a₂} = \frac{3}{6}=\frac{1}{2}, \frac{b₁}{b₂} =\frac{-5}{-10}=\frac{1}{2} ,\frac{c₁}{c₂} =\frac{-20}{-40} =\frac{ 1}{2}\)
∴ \(\frac{a₁}{a₂} = \frac{b₁}{b₂} ≠\frac{c₁}{c₂}\)
গতিকে অসীম সমাধান আছে।
(iv) x – 3y – 7= 0
3x – 3y – 15 = 0
Solution:-
\[ \begin{aligned} x – 3y – 7 &= 0 \quad \text{(1)} \\ 3x – 3y – 15 &= 0 \quad \text{(2)} \end{aligned} \]\( a_1 = 1 \), \( b_1 = -3 \), \( c_1 = -7 \)
\( a_2 = 3 \), \( b_2 = -3 \), \( c_2 = -15 \)
এতিয়া,\(\frac {a₁}{a₂} = \frac{1}{3}, \frac{b₁}{b₂} =\frac{ -3}{-3} =\frac{ 1}{1},\frac{c₁}{c₂} =\frac{-7}{-15} =\frac{ 7}{15}\)
∴ \(\frac{a₁}{a₂} ≠\frac{b₁}{b₂} ≠\frac{c₁}{c₂}\)
∴ প্রদত্ত সমীকৰণ প্ৰণালীৰ অদ্বিতীয় সমাধান আছে অর্থাৎ সংগত আৰু একক সমাধান যুক্ত হ’ব।
\[ \implies\frac{x}{b_1 c_2 – b_2 c_1} = \frac{y}{c_1 a_2 – c_2 a_1} = \frac{1}{a_1 b_2 – a_2 b_1} \]\[ \begin{aligned} \implies\frac{x}{45 – 21} &= \frac{y}{-21 + 15} = \frac{1}{-3 + 9} \\ \implies\frac{x}{24} &= \frac{y}{-6} = \frac{1}{6} \end{aligned} \]\[ x = 4, \quad y = -1 \]\( x = 4 \), \( y = -1 \) য়ে দুয়োটা সমীকৰণ সন্তুষ্ট কৰে।
(v) 2x + 3y = 6
4x + 6y = 12
Solution:-
\( a_1 = 2 \), \( b_1 = 3\), \( c_1 = -6\)
\( a_2 = 4\), \( b_2 = 6 \), \( c_2 = -12 \)
এতিয়া,\(\frac {a₁}{a₂} = \frac{2}{4}=\frac{1}{2}, \frac{b₁}{b₂} =\frac{3}{6} =\frac{ 1}{2},\frac{c₁}{c₂} =\frac{-6}{-12} =\frac{ 1}{2}\)
∴ \(\frac{a₁}{a₂} =\frac{b₁}{b₂} =\frac{c₁}{c₂}\)
গতিকে অসীম সমাধান আছে।
(vi) x – 2y = 6
3x – 6y = 0
Solution:-
\( a_1 = 1 \), \( b_1 = -2\), \( c_1 = -6\)
\( a_2 = 3\), \( b_2 = -6 \), \( c_2 = 0 \)
এতিয়া,\(\frac {a₁}{a₂} = \frac{1}{3}, \frac{b₁}{b₂} =\frac{-2}{-6} =\frac{ 1}{3},\frac{c₁}{c₂} =\frac{-6}{0} \)
∴ \(\frac{a₁}{a₂} =\frac{b₁}{b₂} ≠\frac{c₁}{c₂}\)
∴ ইয়াৰ কোনো সমাধান নাই।
(vii) \(\frac{3a}{x} – \frac{2b}{y} = -5 \)
\(\frac{a}{x} + \frac{3b}{y} = 2\)
Solution:-
ধৰো, \( u = \frac{1}{x} \), \( v = \frac{1}{y} \)
\[ \begin{aligned} 3a u – 2b v &= -5 \quad \text{………………(1)} \\ a u + 3b v &= 2 \quad \text{………………..(2)} \end{aligned} \]\( a_1 = 3a \), \( b_1 = -2b \), \( c_1 = 5 \)
\( a_2 = a \), \( b_2 = 3b \), \( c_2 = -2 \)
এতিয়া,\(\frac {a₁}{a₂} = \frac{3a}{a}=\frac{3}{1}, \frac{b₁}{b₂} =\frac{-2b}{3b} =\frac{ -2}{3},\frac{c₁}{c₂} =\frac{5}{-2} \)
∴ \(\frac{a₁}{a₂} ≠\frac{b₁}{b₂} ≠\frac{c₁}{c₂}\)
অদ্বিতীয় সমাধান আছে
\[ \begin{aligned} \implies\frac{u}{4b – 15b} &= \frac{v}{5a + 6a} = \frac{1}{9ab + 2ab} \\ \implies\frac{x}{-11b} &= \frac{y}{11a} = \frac{1}{11ab}\\ \therefore\frac{y}{11a} = \frac{1}{11ab}\\ \implies y = b\\\frac{x}{-11b}= \frac{1}{11ab}\\ \implies x = -a\\ \end{aligned} \](viii) 2x + y – 15 = 0
3x – y – 5 = 0
Solution:-
\( a_1 = 2 \), \( b_1 = 1\), \( c_1 = -15\)
\( a_2 = 3\), \( b_2 = -1 \), \( c_2 = -5 \)
এতিয়া,\(\frac {a₁}{a₂} = \frac{2}{3}, \frac{b₁}{b₂} =\frac{1}{-1} =-\frac{ 1}{1},\frac{c₁}{c₂} =\frac{-15}{-5}=\frac{3}{1}\)
∴ \(\frac{a₁}{a₂} ≠\frac{b₁}{b₂} ≠\frac{c₁}{c₂}\)
অদ্বিতীয় সমাধান আছে
\[ \frac{x}{b_1 c_2 – b_2 c_1} = \frac{y}{c_1 a_2 – c_2 a_1} = \frac{1}{a_1 b_2 – a_2 b_1} \]\[ \begin{aligned} \frac{x}{-20} &= \frac{y}{-35} = \frac{1}{-5} \end{aligned} \]\[ x = 4, \quad y = 7 \]2. (i) a আৰু চৰ কি মানৰ ক্ষেত্ৰত তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰৰ অসীম সংখ্যক সমাধান থাকিব?
2x + 3y = 7
(a – b) x + (a + b) y = 3a + b – 2
Solution:-
অসীম সমাধানৰ চৰ্ত:\(\frac{a₁}{a₂} =\frac{b₁}{b₂} =\frac{c₁}{c₂}\)
\[ \frac{a – b}{2} = \frac{a + b}{3} = \frac{3a + b – 2}{7} \]প্ৰথম দুটা অনুপাত সমীকৰণ কৰা:
\[ \frac{a – b}{2} = \frac{a + b}{3}\\ \implies 3(a – b) = 2(a + b)\\ \implies a = 5b \]দ্বিতীয় আৰু তৃতীয় অনুপাত সমীকৰণ কৰা:
\[ \frac{6b}{3} = \frac{16b – 2}{7}\\ \implies 14b = 16b – 2\\ \implies b = 1 \]\( a = 5b \) ৰ পৰা
\(\implies a = 5 \times 1 = 5 \).
\( a = 5 \), \( b = 1 \)
(ii) k ৰ কি মানৰ ক্ষেত্ৰত তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণযোৰৰ কোনো সমাধান নাই?
3x + y = 1
( 2k – 1) x + ( k -1 ) y = 2k + 1
Solution:-
কোনো সমাধান নাই গতিকে, \(\frac{a₁}{a₂} =\frac{b₁}{b₂} ≠\frac{c₁}{c₂}\)
\( \implies\frac{3}{2k – 1} = \frac{1}{k – 1} \neq \frac{1}{2k + 1} \)
\(\therefore\frac{3}{2k – 1} = \frac{1}{k – 1}\)
\[ \implies 3(k – 1) = 2k – 1 \\ \implies 3k – 3 = 2k – 1 \\ \implies 3k – 2k = 3 – 1 \\ \implies k = 2 \]\( k = 2 \) ৰ বাবে ৰৈখিক সমীকৰণযোৰৰ কোনো সমাধান নাই
(iii) pৰ কি মানৰ বাবে px – y = 2, 6x – 2y = 3 সমীকৰণযোৰৰ একমাত্ৰ সমাধান থাকিব?
সমাধানঃ-
দিয়া আছে,
\[ \begin{aligned} px – y &= 2 \\ 6x – 2y &= 3 \end{aligned} \] যদি একমাত্ৰ সমাধান থাকিব হয়∴ \(\frac{a₁}{a₂} ≠\frac{b₁}{b₂} ≠\frac{c₁}{c₂}\)\[ \frac{p}{6} \neq \frac{-1}{-2}\\ \implies p \neq 3\\ \]\( p \neq 3 \) হ’লেই সমীকৰণযোৰৰ একমাত্ৰ সমাধান থাকিব।
(iv) kৰ মান নিৰ্ণয় কৰা যাতে তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণযোৰৰ কোনো সমাধান নাথাকে।
\((3k+1)x+3y-2=0, (k^2 + 1)x+(k-2)y-5=0\)
Solution:-
কোনো সমাধান নাই গতিকে, \(\frac{a₁}{a₂} =\frac{b₁}{b₂} ≠\frac{c₁}{c₂}\)\(\implies \frac{3k + 1}{k^2 + 1} = \frac{3}{k – 2} \neq \frac{-2}{-5} \)
\[ \implies (3k + 1)(k – 2) = 3(k^2 + 1)\\ \implies k = -1\\ \]\( k = -1 \) ৰ বাবে
(v) mৰ মান নিৰ্ণয় কৰা যাতে তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণযোৰৰ অসীম সমাধান থাকে।
\(mx + 4y = m – 4, 16x + my = m\)
Solution:-
অসীম সমাধানৰ চৰ্ত:
\(\frac{a₁}{a₂} =\frac{b₁}{b₂} =\frac{c₁}{c₂}\)
\[ \frac{m}{16} = \frac{4}{m} = \frac{m – 4}{m} \]\[ m^2 = 64\\ \implies m = 8\\ \implies m =-8 \]\( m = 8 \) ৰ বাবে সকলো অনুপাত সমান, কিন্তু \( m = -8 \) অবৈধ।
3. প্ৰতিষ্ঠাপন আৰু বজ্ৰগুণন পদ্ধতিৰে তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণযোৰৰ সমাধান উলিওৱা ঃ
(i) 8x + 5y = 9
3x + 2y = 4
Solution:- প্ৰতিষ্ঠাপন পদ্ধতি:-
8x + 5y = 9………………………(i)
3x + 2y = 4………………………… (ii)
সমীকৰণ (2) ৰ পৰা x প্রকাশ কৰা:
\(\implies 3x = 4 – 2y\)
\(⇒ x =\frac{4 – 2y}{3}\)
x ৰ মান সমীকৰণ (1) ত প্রতিস্থাপন কৰা:
\(\implies 8×\frac{4 – 2y}{3} + 5y = 9\)
\(\implies\frac{32 – 16y}{3} + 5y = 9\)
⇒ 32 – y = 27
⇒ y = 5
y = 5 সমীকৰণ (2) ত প্রতিস্থাপন কৰা:
\(\implies 3x + 2×5 = 4\)
⇒ 3x = -6
⇒ x = -2
বজ্ৰগুণন পদ্ধতি:-
\[\frac{x}{b_1c_2 – b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 – c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 – a_2b_1}
\]\[
\begin{aligned}
\implies \frac{x}{(5)(-4) – (2)(-9)} &= \frac{y}{(-9)(3) – (-4)(8)} = \frac{1}{(8)(2) – (3)(5)}\\
\implies \frac{x}{-20 + 18} &= \frac{y}{-27 + 32} = \frac{1}{16 – 15} \\
\implies \frac{x}{-2} &= \frac{y}{5} = 1 \
\end{aligned}
\]
\(\therefore \boxed{x = -2}\) আৰু \(\boxed{y = 5}\)
(ii) 4x – 3y = 23
3x + 4y = 11
Solution:-
প্রতিস্থাপন পদ্ধতিৰে সমাধান
সমীকৰণবোৰ:
\(4x − 3y = 23 …………………(i)\)
\(3x + 4y = 11………………………… (ii)\)
সমীকৰণ (1) ৰ পৰা x প্রকাশ কৰা:
\(\implies 4x = 23 + 3y \)
\(\implies x = \frac{23 + 3y}{4}\)
x ৰ মান সমীকৰণ (2) ত প্রতিস্থাপন কৰা:
\(\implies 3\left(\frac{23 + 3y}{4}\right) + 4y = 11\)
\(\implies 69 + 9y + 16y = 44 \)
\(\implies 25y = -25\)
\(\implies y = -1\)
y = -1 ক সমীকৰণ (1) ত প্রতিস্থাপন কৰি x উলিওৱা:
\(\implies x = \frac{23 – 3}{4} = 5\)
\(\therefore\boxed{x = 5}, \quad \boxed{y = -1}\)
বজ্ৰগুণন পদ্ধতি:-
\[\frac{x}{b_1c_2 – b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 – c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 – a_2b_1}
\]\[
\begin{aligned}
\implies \frac{x}{(-3)(-11) – (4)(-23)} &= \frac{y}{(-23)(3) – (-11)(4)} = \frac{1}{(4)(4) – (3)(-3)} \\
\implies \frac{x}{33 + 92} &= \frac{y}{-69 + 44} = \frac{1}{16 + 9} \\
\implies \frac{x}{125} &= \frac{y}{-25} = \frac{1}{25} \
\end{aligned}
\]\[
\begin{aligned}
\implies x &= \frac{125}{25} = 5, \quad y = \frac{-25}{25} = -1.
\end{aligned}
\]
\(\therefore \boxed{x = 5}\) আৰু \(\boxed{y = -1}\)
(iii) 2x + 3y – 11 = 0
4x – 3y + 5 = 0
Solution:-
প্রতিস্থাপন পদ্ধতিৰে সমাধান
সমীকৰণবোৰ:
2x + 3y = 11……………(i)
4x – 3y = -5………………..(ii)
সমীকৰণ (1) ৰ পৰা x প্রকাশ কৰা:
\(\implies 2x = 11 – 3y \)
\(\implies x = \frac{11 – 3y}{2}\)
x ৰ মান সমীকৰণ (2) ত প্রতিস্থাপন কৰা:
\(\implies 4\left(\frac{11 – 3y}{2}\right) – 3y = -5\)
\(\implies 22 – 6y – 3y = -5 \)
\(\implies 22 – 9y = -5\)
\(\implies -9y = -27 \)
\(\implies y = 3\)
y = 3 ক সমীকৰণ (1) ত প্রতিস্থাপন কৰি x উলিওৱা:
\(x = \frac{11 – 3×3}{2} = 1\)
\(\boxed{x = 1}, \quad \boxed{y = 3}\)
বজ্ৰগুণন পদ্ধতি:-
\[\frac{x}{b_1c_2 – b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 – c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 – a_2b_1}
\]\[
\begin{aligned}
\implies \frac{x}{(3)(5) – (-3)(-11)} &= \frac{y}{(-11)(4) – (5)(2)} = \frac{1}{(2)(-3) – (4)(3)} \\
\implies \frac{x}{15 – 33} &= \frac{y}{-44 – 10} = \frac{1}{-6 – 12} \\
\implies \frac{x}{-18} &= \frac{y}{-54} = \frac{1}{-18} \
\end{aligned}
\]\[
\begin{aligned}
\implies x &= \frac{-18}{-18} = 1, \quad y = \frac{-54}{-18} = 3.
\end{aligned}
\]
\(\therefore \boxed{x = 1}\) আৰু \(\boxed{y = 3}\)।
(iv) 5x + 7y = 19
3x + 2y = 7
Solution:-
প্রতিস্থাপন পদ্ধতিৰে সমাধান
সমীকৰণবোৰ:
\(5x + 7y = 19………………………. (i)\)
\(3x + 2y = 7…………………….. (ii)\)
সমীকৰণ (2) ৰ পৰা y প্রকাশ কৰা:
\(\implies 2y = 7 – 3x \)
\(\implies y = \frac{7 – 3x}{2}\)
y ৰ মান সমীকৰণ (1) ত প্রতিস্থাপন কৰা:
\(\implies 5x + 7\left(\frac{7 – 3x}{2}\right) = 19\)
\(\implies 10x + 49 – 21x = 38 \)
\(\implies -11x = -11 \implies x = 1\)
x = 1 ক সমীকৰণ (2) ত প্রতিস্থাপন কৰি y উলিওৱা:
\(y = \frac{7 – 3×1}{2} = 2\)
\(\boxed{x = 1}, \quad \boxed{y = 2}\)
বজ্ৰগুণন পদ্ধতি:-
\[\frac{x}{b_1c_2 – b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 – c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 – a_2b_1}
\]\[
\begin{aligned}
\implies \frac{x}{(7)(-7) – (2)(-19)} &= \frac{y}{(-19)(3) – (-7)(5)} = \frac{1}{(5)(2) – (3)(7)} \\
\implies \frac{x}{-49 + 38} &= \frac{y}{-57 + 35} = \frac{1}{10 – 21} \\
\implies \frac{x}{-11} &= \frac{y}{-22} = \frac{1}{-11} \
\end{aligned}
\]\[
\begin{aligned}
\implies x &= \frac{-11}{-11} = 1, \quad y = \frac{-22}{-11} = 2.
\end{aligned}
\]
\(\therefore \boxed{x = 1}\) আৰু \(\boxed{y = 2}\)
4. তলৰ সমস্যাবোৰক লৈ ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ গঠন কৰা আৰু যিকোনো বীজীয় পদ্ধতিৰে সিহঁতৰ সমাধান উলিওৱা (যদি বর্তে)।
(i) কোনো ছাত্ৰাবাসৰ মাহেকীয়া মাচুলৰ এটা অংশ নির্দিষ্ট আৰু বাকীখিনি এজনে মেচত কিমান দিন খাদ্য গ্রহণ কৰিলে তাৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰে। যেতিয়া এজন ছাত্র Aই 20 দিন খাদ্য খায় তেন্তে তেওঁ ছাত্ৰাবাসৰ মাচুল দিব লাগে 1000 টকা। আকৌ এজন ছাত্র Bয়ে যদি 26 দিন খাদ্য খায় তেওঁ মাচুল দিব লাগে 1180 টকা। নির্দিষ্ট মাচুল আৰু প্রতিদিনত খাদ্যৰ দাম কি উলিওৱা ।
Solution:-
দিয়া আছে,
ছাত্ৰ A য়ে 20 দিন খাদ্য খাই 1000 টকা মাচুল দিয়ে।
ছাত্ৰ B য়ে 26 দিন খাদ্য খাই 1180 টকা মাচুল দিয়ে।
ধৰা হওক,
নির্দিষ্ট মাচুল = \( x \) টকা
প্ৰতিদিনৰ খাদ্যৰ দাম = \( y \) টকা
প্ৰশ্নমতে,
\(\implies x + 20y = 1000 …………..(i)\)
\(\implies x + 26y = 1180…………………….(ii) \)
সমীকৰণ (2) ৰ পৰা সমীকৰণ (1) বিয়োগ কৰা:
\(\implies (x + 26y) – (x + 20y) = 1180 – 1000 \)
\(\implies 6y = 180 \)
\(\implies y = 30 \)
\(\therefore y = 30 \) ক সমীকৰণ (1) ত প্রতিস্থাপন কৰা:
\(\implies x + 20 \times 30 = 1000 \)
\(\implies x = 400 \)
নির্দিষ্ট মাচুল = 400 টকা
প্ৰতিদিনৰ খাদ্যৰ দাম = 30 টকা
(ii) এটা ভগ্নাংশৰ লবৰ পৰা 1 বিয়োগ কৰিলে ই হয়গৈ 1/3 ; আৰু ইয়াৰ হৰৰ লগত ৪ যোগ কৰিলে হয়গৈ 1/4 । ভগ্নাংশটো নিৰ্ণয় কৰা ।
Solution:-
ধৰা হওক,
ভগ্নাংশটো = \( \frac{x}{y} \), য’ত \( x \) = লব, \( y \) = হৰ।
প্ৰশ্নমতে,
\(\frac{x – 1}{y} = \frac{1}{3} …………………(i)\)
\(\frac{x}{y + 8} = \frac{1}{4}……………………… (ii) \)
সমীকৰণ (1) ৰ পৰা \( y \) প্রকাশ কৰা:
\(\implies 3(x – 1) = y \)
\(\implies y = 3x – 3 \)
সমীকৰণ (2) ৰ পৰা \( y \) প্রকাশ কৰা:
\(\implies 4x = y + 8 \)
\(\implies y = 4x – 8 \)
দুয়োটা \( y \) ৰ মান সমান কৰা:
\(\implies 3x – 3 = 4x – 8 \)
\(\implies 8 – 3 = 4x – 3x\)
\(\implies x = 5 \)
Step 4: \( x = 5 \) ক সমীকৰণত প্রতিস্থাপন কৰি \( y \) উলিওৱা:
\( y = 3(5) – 3 = 12 \)
ভগ্নাংশটো = \( \frac{5}{12} \).
(iii) এটা পৰীক্ষাত যশোদাই লাভ কৰে 40 নম্বৰ, য’ত তেওঁ প্ৰতিটো শুদ্ধ উত্তৰৰ বাবে পায় 3 নম্বৰ আৰু প্ৰতিটো অশুদ্ধ উত্তৰৰ বাবে হেৰুৱায় 1 নম্বৰ। যদি প্ৰতিটো শুদ্ধ উত্তৰৰ বাবে 4 নম্বৰ দিলেহেঁতেন আৰু প্ৰতিটো অশুদ্ধ উত্তৰৰ বাবে 2 নম্বৰ কাটিলেহেঁতেন, তেন্তে যশোদাই 50 নম্বৰ লাভ কৰিলেহেঁতেন। পৰীক্ষাটোত কিমানটা প্রশ্ন আছিল ?
Solution:
ধৰা হ’ল, শুদ্ধ উত্তৰৰ সংখ্যা = xটা
আৰু অশুদ্ধ উত্তৰৰ সংখ্যা = yটা
মুঠ প্ৰশ্নৰ সংখ্যা = x+yটা
প্ৰশ্নমতে,
প্রতিশুদ্ধ উত্তৰত 3 নম্বৰ পায় আৰু প্রতি অশুদ্ধত 1 নম্বৰ হেৰুৱায়।
গতিকে,
\(\implies 3x-y=40……………… (1)\)
দ্বিতীয় অৱস্থাত:
প্রতিশুদ্ধ উত্তৰত 4 নম্বৰ পায় আৰু প্রতি অশুদ্ধত 2 নম্বৰ হেৰুৱায়।
গতিকে,
\(\implies 4x-2y = 50………………(2)\)
সমীকৰণ (1) ৰ পৰা,
\(\implies y=3x−40\)
এই মান সমীকৰণ (2) ত প্ৰতিষ্ঠাপন কৰিলে,
\(\implies 4x−2(3x−40)=50\)
\(\implies 4x−6x+80=50\)
\(\implies−2x=−30\)
\(\therefore x=15\)
x=15 সমীকৰণ (1) ত বহুৱালে,
\(\implies 3(15)−y=40\)
\(\implies 45−y=40\)
\(\implies y=5\)
মুঠ প্ৰশ্নৰ সংখ্যা = 15+5 =20টা
(iv) ঘাইপথ এটাৰ ওপৰৰ দুখন ঠাই A আৰু Bৰ দূৰত্ব 100 কি.মি.; এখন গাড়ী Aৰ পৰা আৰু একে সময়তে আন এখন গাড়ী Bৰ পৰা ৰাওনা হয়। যদি গাড়ী দুখনে একে দিশলৈ বেলেগ বেলেগ দ্ৰুতিৰে যাত্ৰা কৰে, তেন্তে ইহঁত 5 ঘণ্টাৰ পিছত লগ হয়। যদি সিহঁতৰ এখনে আনখনৰ দিশলৈ যাত্ৰা কৰে, তেন্তে সিহঁত 1 ঘণ্টা পিছত লগ হয়। গাড়ী দুখনৰ প্ৰত্যেকৰে দ্ৰুতি কিমান ?
Solution:-
ধৰা হ’ল, A ৰ পৰা ৰাওনা হোৱা গাড়ীৰ দ্ৰুতি = x কি.মি./ঘণ্টা
আৰু B ৰ পৰা ৰাওনা হোৱা গাড়ীৰ দ্ৰুতি = y কি.মি./ঘণ্টা
একে দিশলৈ যাত্ৰা কৰিলে (ধৰো A → B দিশ):
সাপেক্ষে দ্ৰুতি = x−y (যিহেতু A-ৰ গাড়ীখনে B-ৰ গাড়ীখনক ওলাই যাব)
৫ ঘণ্টাত অতিক্ৰম কৰা দূৰত্ব = 5(x−y)=100কি.মি.
∴ x−y=20………………………(1)
বিপৰীত দিশলৈ যাত্ৰা কৰিলে (A ← B দিশ):
সাপেক্ষে দ্ৰুতি = x+y
১ ঘণ্টাত অতিক্ৰম কৰা দূৰত্ব = 1(x+y)=100
∴ x+y=100 — (2)
(1) আৰু (2) যোগ কৰিলে:
\(\implies (x−y)+(x+y)=20+100\)
\(\implies 2x=120\)
\(⇒ x=60\)
x=60 মান (2) ত বহুৱালে:
60+y=100
⇒ y=40
A ৰ গাড়ীৰ দ্ৰুতি = 60 কি.মি./ঘণ্টা
B ৰ গাড়ীৰ দ্ৰুতি = 40 কি.মি./ঘণ্টা
(v) এটা আয়ত যদি দৈৰ্ঘ্যক 5 একক হ্ৰাস আৰু প্ৰস্থক 3 একক বৃদ্ধি কৰা হয় তেন্তে ইয়াৰ কালি 9 বর্গ একক হ্রাস হয়। যদি ইয়াৰ দৈৰ্ঘ্যক 3 একক আৰু প্ৰস্তুক 2 একক বৃদ্ধি কৰা হয় তেন্তে কালি 67 বর্গ একক বৃদ্ধি পায়। আয়তটোৰ দীঘ আৰু প্ৰস্থ উলিওৱা ।
Solution:-
ধৰা হ’ল, আয়তটোৰ দৈৰ্ঘ্য = x একক
আৰু প্ৰস্থ = y একক
মূল কালি = xy বর্গ একক
প্ৰথম অৱস্থাত:
দৈৰ্ঘ্য 5 একক হ্ৰাস কৰিলে: x−5
প্ৰস্থ 3 একক বৃদ্ধি কৰিলে: y+3
নতুন কালি = (x−5)(y+3)
প্ৰশ্নমতে,
নতুন কালি = মূল কালি – 9
∴ (x−5)(y+3)=xy−9
সমীকৰণ বিকাশ কৰিলে:
\(\implies xy+3x−5y−15=xy−9\)
\(\implies 3x−5y=6………………………..(1)\)
দ্বিতীয় অৱস্থাত:
দৈৰ্ঘ্য 3 একক বৃদ্ধি কৰিলে: x+3
প্ৰস্থ 2 একক বৃদ্ধি কৰিলে: y+2
নতুন কালি = (x+3)(y+2)
প্ৰশ্নমতে,
নতুন কালি = মূল কালি + 67
\(∴ (x+3)(y+2)=xy+67\)
\(\implies xy+2x+3y+6=xy+67\)
\(⇒ 2x+3y=61 …………………….. (2)\)
সমীকৰণ (2) ৰ পৰা,
\(\implies 2x=61−3y\)
\(⇒ x=\frac{61−3y}{2}\)
এই মান সমীকৰণ (1) ত প্ৰতিষ্ঠাপন কৰিলে:
\(\implies 3(\frac{61−3y}{2})−5y =6\)
\(\implies \frac{183−9y}{2} −5y=6\)
\(\implies 183−9y−10y=12\)
\(\implies −19y= 12 -183\)
\(\implies −19y= -171\)
\(\implies y=\frac{-171}{-19}\)
\(\implies ⇒ y=9\)
y=9 সমীকৰণ (2) ত বহুৱালে:
\(\implies 2x+3(9)=61\)
\(\implies 2x=61 – 27 \)
\(\implies 2x=34 \)
\(⇒ x=17\)
আয়তটোৰ দৈৰ্ঘ্য = 17 একক
প্ৰস্থ = 9 একক