অনুশীলনী – 3.2
1 .তলৰ সমস্যাবোৰত ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰ গঠন কৰা আৰু লৈখিকভাৱে সেইবোৰৰ সমাধান উলিওৱা ।
(i) এটা গণিত কুইজত দশম শ্ৰেণীৰ 10 জন ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে অংশ গ্ৰহণ কৰিছিল। যদি ছাত্ৰতকৈ ছাত্ৰীৰ সংখ্যা 4 বেছি, তেন্তে অংশ গ্ৰহণ কৰা ছাত্ৰ আৰু ছাত্ৰীৰ সংখ্যা উলিওৱা ।
Solution:-
দিয়া আছে,
মুঠ ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ সংখ্যা = 10 জন
ছাত্ৰীতকৈ ছাত্ৰৰ সংখ্যা 4 বেছি।
ধৰাহ’ল,
ছাত্ৰৰ সংখ্যা = x
∴ ছাত্ৰীৰ সংখ্যা = x + 4
প্রশ্নমতে,
x + (x + 4) = 10
⇒ 2x + 4 = 10
⇒ 2x = 10 − 4
⇒ 2x = 6
⇒ x = 3
∴ ছাত্ৰৰ সংখ্যা = 3 জন
ছাত্ৰীৰ সংখ্যা = 3 + 4 = 7 জন
(ii) 5 ডাল পেঞ্চিল আৰু 7টা পেনৰ দাম একেলগে 50 টকা আৰু 7 ডাল পেঞ্চিল আৰু 5 টা পেনৰ দাম একেলগে 46 টকা। এডাল পেঞ্চিল আৰু এটা পেনৰ দাম উলিওৱা ।
Solution:-
দিয়া আছে,
5 ডাল পেঞ্চিল আৰু 7 টা পেনৰ দাম = 50 টকা
7 ডাল পেঞ্চিল আৰু 5 টা পেনৰ দাম = 46 টকা
ধৰাহ’ল,
এডাল পেঞ্চিলৰ দাম = x টকা
এটা পেনৰ দাম = y টকা
প্রশ্নমতে,
5x + 7y = 50 ………(1)
7x + 5y = 46 ………(2)
(1) ক 7 ৰে আৰু (2) ক 5 ৰে পূৰণ কৰোঁ:
35x + 49y = 350 ………(3)
35x + 25y = 230 ………(4)
এতিয়া (3) ৰ পৰা (4) বিয়োগ কৰোঁ:
(35x + 49y) − (35x + 25y) = 350 − 230
⇒ 24y = 120
⇒ y = 120 ÷ 24
⇒ y = 5 (পেনৰ দাম)
y = 5 ক (1) ত বহুৱাওঁ:
5x + 7×5 = 50
⇒ 5x + 35 = 50
⇒ 5x = 50 − 35
⇒ 5x = 15
⇒ x = 3 (পেঞ্চিলৰ দাম)
2. \(\frac{a_1}{b_1}\) , \(\frac{a_2}{b_2}\) আৰু \(\frac{a_3}{b_3}\) অনুপাতকেইটা ৰিজাই তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰকেইটাই বুজোৱা ৰেখা দুটাই এটা বিন্দুত কাটিব, নে সমান্তৰাল হ’ব নে লগলগা, তাক নিৰ্ণয় কৰা:-
(i) 5x – 4y + 8 = 0
7x+6y-9 =0
সহগৰ অনুপাত:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{5}{7}, \quad \frac{b_1}{b_2} = -\frac{2}{3} \)
যিহেতু , \(\frac{a_1}{a_1} ≠\frac{b_1}{b_2}\) সেয়েহে সমীকৰণ দুটাই এটা বিন্দুত কাটিব
(ii) 9x + 3y + 12 = 0 আৰু 18x + 6y + 24 = 0
Solution:-
সহগৰ অনুপাত:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}, \quad \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2}, \quad \frac{c_1}{c_2} = \frac{1}{2} \)
যিহেতু , \(\frac{a_1}{a_2}\ = \frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) সেয়েহে সমীকৰণ দুটাৰ লেখ মিলি যোৱা
(iii) 6x – 3y + 10 = 0 আৰু 2x – y + 9 = 0
সহগৰ অনুপাত:
\( \frac{a_1}{a_2} = 3, \quad \frac{b_1}{b_2} = 3, \quad \frac{c_1}{c_2} = \frac{10}{9} \)
যিহেতু , \(\frac{a_1}{a_2}\ = \frac{b_1}{b_2}≠\frac{c_1}{c_2}\) সেয়েহে সমীকৰণ দুটাৰ লেখ সমান্তৰাল হব ।
3. \(\frac{a_1}{b_1}\) , \(\frac{a_2}{b_2}\) আৰু \(\frac{a_3}{b_3}\) অনুাপতকেইটা ৰিজাই নিৰ্ণয় কৰা তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰকেইটা সংগত নে অসংগত
(i) 3x + 2y = 5; 2x – 3y = 7 (ii) 2x – 3y = 8 ; 4x – 6y = 9
(iii) x + y = 7; 9x – 10y = 14 (iv) 5x – 3y = 11; – 10x + 6y = -22
(v) x+2y = 8 ; 2x + 3y = 12
Solution:-
(i) 3x + 2y = 5; 2x – 3y = 7
সহগৰ অনুপাত:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{2}, \quad \frac{b_1}{b_2} = -\frac{2}{3} \)
যিহেতু , \(\frac{a_1}{a_1} ≠\frac{b_1}{b_2}\) সেয়েহে সমীকৰণ দুটাই এটা বিন্দুত কাটিব গতিকে সংগত
(ii) 2x – 3y = 8; 4x – 6y = 9
সহগৰ অনুপাত:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}, \quad \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2}, \quad \frac{c_1}{c_2} = \frac{8}{9} \)
যিহেতু , \(\frac{a_1}{a_2}\ = \frac{b_1}{b_2}≠\frac{c_1}{c_2}\) সেয়েহে সমীকৰণ দুটাৰ লেখ সমান্তৰাল হব । গতিকে অসংগত
(iii) x + y = 7; 9x – 10y = 14
সহগৰ অনুপাত:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{9}, \quad \frac{b_1}{b_2} = -\frac{1}{10} \)
যিহেতু , \(\frac{a_1}{a_1} ≠\frac{b_1}{b_2}\) সেয়েহে সমীকৰণ দুটাই এটা বিন্দুত কাটিব গতিকে সংগত
(iv) 5x – 3y = 11; -10x + 6y = -22
সহগৰ অনুপাত:
\( \frac{a_1}{a_2} = -\frac{1}{2}, \quad \frac{b_1}{b_2} = -\frac{1}{2}, \quad \frac{c_1}{c_2} = -\frac{1}{2} \)
যিহেতু , \(\frac{a_1}{a_2}\ = \frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) । গতিকে সংগত
(v) x + 2y = 8; 2x + 3y = 12
সহগৰ অনুপাত:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}, \quad \frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{3} \)
যিহেতু , \(\frac{a_1}{a_1} ≠\frac{b_1}{b_2}\) সেয়েহে সমীকৰণ দুটাই এটা বিন্দুত কাটিব গতিকে সংগত
4. তলৰ কোনবোৰ ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ সংগত/অসংগত? যদি সংগত, লেখৰ সহায়ত
সমাধান উলিওৱা।
\((i) x + y = 5, \;\;\;\; 2x + 2y = 10\)
\((ii) x – y = 8, \;\;\;\; 3x – 3y = 16\)
\((iii) 2x + y – 6 = 0, \;\;\;\; 4x – 2y – 4 = 0\)
\((iv) 2x – 2y – 2 = 0, \;\;\; 4x – 4y – 5 = 0\)
Solution:-
(i) x + y = 5; 2x + 2y = 10
সহগৰ অনুপাত:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}, \quad \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2}, \quad \frac{c_1}{c_2} = \frac{1}{2} \)
সংগত (অসীম সমাধান)।
(ii) x – y = 8; 3x – 3y = 16
সহগৰ অনুপাত:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}, \quad \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{3}, \quad \frac{c_1}{c_2} = \frac{1}{2} \)
অসংগত (সমান্তৰাল ৰেখা)।
(iii) 2x + y = 6; 4x – 2y = 4
সহগৰ অনুপাত:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}, \quad \frac{b_1}{b_2} = -\frac{1}{2} \)
সংগত (সমাধান: \(x = 2, y = 2\))
লেখৰ ছেদ বিন্দু: (2, 2)
(iv) 2x – 2y = 2; 4x – 4y = 5
সহগৰ অনুপাত:
\(\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}, \quad \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2}, \quad \frac{c_1}{c_2} = \frac{2}{5}\)
অসংগত (সমান্তৰাল ৰেখা)।
5. এখন আয়তাকাৰ বাগিচাৰ প্ৰস্থতকৈ দীঘ 4 মিটাৰ বেছি। ইয়াৰ পৰিসীমাৰ আধা 36 মিটাৰ। বাগিচাখনৰ দীঘ, প্রস্থ নিৰ্ণয় কৰা ।
Solution:-
আয়তাকাৰ বাগিচাৰ দীঘ আৰু প্ৰস্থ নিৰ্ণয়
দিয়া আছে,
দীঘ = প্ৰস্থ + 4 মিটাৰ , পৰিসীমাৰ আধা = 36 মিটাৰ
ধৰাহ’ল, প্ৰস্থ = \( x \) মিটাৰ
∴ দীঘ = \( x + 4 \) মিটাৰ
পৰিসীমা = \( 2 \times (x + x + 4) = 2 \times (2x + 4) \)
পৰিসীমাৰ আধা = \( \frac{2 \times (2x + 4)}{2} = 2x + 4 \)
প্রশ্নমতে-
\( 2x + 4 = 36 \)
⇒ \( 2x = 32 \)
⇒ \( x = 16 \)
দীঘ = 20 মিটাৰ, প্ৰস্থ = 16 মিটাৰ
6) 2x + 3y – 8 =0 ৰৈখিক সমীকৰণটো দিয়া আছে। দুটা চলকত অইন এটা ৰৈখিক সমীকৰণ নিৰ্ণয় কৰা যাতে এইদৰে গঠন হোৱা ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰটোৰ জ্যামিতিক প্রদর্শনটো হ’ব—
(i) কটাকটি ৰেখা (ii) সমান্তৰাল ৰেখা (iii) মিলি যোৱা ৰেখা
Solution:-
সমাধান:
দিয়া আছে ৰৈখিক সমীকৰণ:
\[ 2x + 3y – 8 = 0\]
ইয়াক \( a_1x + b_1y + c_1 = 0\) ৰূপে ল’লে, \(a_1 = 2, \, b_1 = 3, \, c_1 = -8 \)।
(i) কটাকটি ৰেখা (Intersecting Lines)
দুটা ৰেখাই কটাকটি কৰিবলৈ হ’লে, সহগবোৰৰ অনুপাত বেলেগ হ’ব লাগে। অর্থাৎ,
\(\frac{a_2}{a_1} \neq \frac{b_2}{b_1}\)
উদাহৰণ:
\[ x – y = 0\]
ইয়াত, \(a_2 = 1, \, b_2 = -1\)।
পৰীক্ষা:
\[\frac{a_2}{a_1} = \frac{1}{2}, \quad \frac{b_2}{b_1} = \frac{-1}{3}\]
অনুপাত বেলেগ হোৱা বাবে ৰেখা দুডালে কটাকটি কৰিব।
(ii) সমান্তৰাল ৰেখা (Parallel Lines)
সমান্তৰাল ৰেখাৰ বাবে সহগবোৰৰ অনুপাত একে হ’ব লাগে, কিন্তু ধ্ৰুৱক পদৰ অনুপাত বেলেগ হ’ব:
\[\frac{a_2}{a_1} = \frac{b_2}{b_1} \neq \frac{c_2}{c_1}\]
উদাহৰণ:
\[2x + 3y + 1 = 0\]
ইয়াত, \(a_2 = 2, \, b_2 = 3, \, c_2 = 1\)।
পৰীক্ষা:
\[\frac{a_2}{a_1} = \frac{2}{2} = 1, \quad \frac{b_2}{b_1} = \frac{3}{3} = 1, \quad \frac{c_2}{c_1} = \frac{1}{-8}\]
সহগৰ অনুপাত একে, কিন্তু ধ্ৰুৱক পদ বেলেগ। গতিকে, ৰেখা দুডাল সমান্তৰাল।
(iii) মিলি যোৱা ৰেখা (Coincident Lines)
মিলি যোৱা ৰেখাৰ বাবে তিনিওটা অনুপাত একে হ’ব লাগে:
\[\frac{a_2}{a_1} = \frac{b_2}{b_1} = \frac{c_2}{c_1}\]
উদাহৰণ:
\[4x + 6y – 16 = 0\]
ইয়াত, \(a_2 = 4, \, b_2 = 6, \, c_2 = -16\)।
পৰীক্ষা:
\[\frac{a_2}{a_1} = \frac{4}{2} = 2, \quad \frac{b_2}{b_1} = \frac{6}{3} = 2, \quad \frac{c_2}{c_1} = \frac{-16}{-8} = 2\]
সকলো অনুপাত একে, গতিকে ৰেখা দুডাল মিলি যাব।
7) x y + 1 = 0 আৰু 3x + 2y – 12 = 0 সমীকৰণ দুটাৰ লেখ অংকন কৰা । এই ৰেখা দুটাই -x-অক্ষৰ লগত কৰা ত্ৰিভুজটোৰ শীৰ্ষবিন্দুকেইটাৰ স্থানাংক উলিওৱা। ত্ৰিভুজীয় ক্ষেত্ৰটো প্রচ্ছাদিত কৰা ৷
Solution:-