অনুশীলনী – 1.1
1. ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰময়িকা ব্যবহাৰ কৰি HCF নির্ণয়:
(i) 135 আৰু 225
225 = 135 × 1 + 90
135 = 90 × 1 + 45
90 = 45 × 2 + 0
HCF = 45
(i) 135 আৰু 225
225 = 135 × 1 + 90
135 = 90 × 1 + 45
90 = 45 × 2 + 0
HCF = 45
ii) 196 আৰু 38220
38220 = 196 × 195 + 0
HCF(38220, 196) = 196
iii) 867 আৰু 255
867 = 255 × 3 + 102
255 = 102 × 2 + 51
102 = 51 × 2 + 0
HCF(867, 255) = 51
2.দেখুওৱা যে যিকোনো যোগাত্মক অযুগ্ম অখন্দ সংখ্যা 6q + 1,বা 6q + 3, বা 6q + 5 আৰ্হিৰ, য’ত q হৈছে কোনো অখন্দ সংখ্যা ।
Solution:-
ধৰো,
a যিকোনো এটা ধনাত্মক অখন্দসংখ্যা আৰু b = 6 । তাৰ পিছত ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা দ্বাৰা,
∴ q ≥ 0 ৰ বাবে a = 6q + r, আৰু r = 0, 1, 2, 3, 4, 5, কাৰণ 0≤r<6.
এতিয়া r ৰ মানটো প্ৰতিস্থাপন কৰি আমি পাম,
যদি r = 0 হয়, তেন্তে a = 6q
r = 1, 2, 3, 4, 5 ৰ বাবে a ৰ মান ক্ৰমে 6q+1, 6q+2, 6q+3, 6q+4, আৰু 6q+5
যদি a = 6q, 6q+2, 6q+4, তেন্তে a এটা যুগ্ম সংখ্যা আৰু 2 ৰে হৰণযোগ্য। 6q+1, 6q+3 আৰু 6q+5 আৰ্হিৰ সংখ্যাবোৰ ধনাত্মক অযুগ্ম অখন্দসংখ্যা য’ত q হৈছে কিছুমান অখন্দসংখ্যা।
3. 616 জনীয়া সেনাবাহিনীৰ গোটে 32 জনীয়া এটা সেনাদলৰ পিছে পিছে কদম -খোজ কাঢ়ি কাঢ়ি যাবলগীয়া হল। দুয়োটা দলে একে সমান সংখ্যক স্তম্ভত কদম -খোজ কাঢ়িবলগীয়া হল । তেওঁলোকে খোজ কাঢ়িবলগীয়া স্তম্ভত উচ্চতম সংখ্যা কি হব ?
Solution:-
দিয়া আছে,
সেনাবাহিনীৰ দলৰ সদস্যৰ সংখ্যা = 616
সেনা দলৰ সদস্যৰ সংখ্যা = 32
যদি দুয়োটা গোটে একেটা স্তম্ভতে কদম-খোজ কাঢ়ি কাঢ়ি যাবলগীয়া হয় তেন্তে আমি দুয়োটা গোটৰ মাজত HCF বিচাৰি উলিয়াব লাগিব।
HCF(616, 32), য়ে তেওঁলোকে কদম-খোজ কাঢ়ি কাঢ়ি যাবলগীয়া সৰ্বাধিক স্তম্ভৰ সংখ্যা হব।
ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা ব্যৱহাৰ কৰি তেওঁলোকৰ HCF বিচাৰিলে আমি পাওঁ,
যিহেতু,
616 > 32, গতিকে,
616 = 32 × 19 + 4
যিহেতু, 4 ≠ 0, গতিকে, 32 নতুন ভাজক
32 = 8 × 4 + 0
গতিকে, HCF(616, 32) = 8
সেয়েহে তেওঁলোকে কাঢ়ি যাবলগীয়া স্তম্ভৰ সৰ্বাধিক সংখ্যা 8 টা।
4. ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা ব্যৱহাৰ কৰি দেখুওৱা যে যিকোনো যোগাত্মক অখন্দ সংখ্যাৰ বৰ্গই হয় 3m নাইবা 3m নাইবা 3m + 1 আৰ্হিৰ, যত m এটা কোনোবা অখন্দ সংখ্যা
Solution:-
ধৰো,
x যিকোনো ধনাত্মক অখন্দ সংখ্যা আৰু y = 3
ইউক্লিডৰ বিভাজনৰ প্ৰমেয়িকা দ্বাৰা,
x = 3q + r যত q ≥ 0 আৰু r = 0, 1, 2, r ≥ 0 আৰু r < 3
⇒ x = 3q, 3q+1 আৰু 3q+2
দুয়োফালে বৰ্গ কৰি আমি পাওঁ,
x2 = (3q)2 = 9q2 = 3 × 3q2
ইয়াত, 3q2 = m
⇒ x2 = 3m ————— (1)
x2 = (3q + 1)2 = (3q)2 + 12 + 2 × 3q × 1 = 9q2 + 1 + 6q = 3(3q2 + 2q) + 1
ধৰো, 3q2 + 2q = m
⇒ x2 = 3m + 1 ————— (2)
x2 = (3q + 2)2 = 9q2 + 4 + 12q = 3(3q2 + 4q + 1) + 1
ধৰো, 3q2 + 4q + 1 = m
⇒ x2 = 3m + 1 ————— (3)
গতিকে সমীকৰণ (1), (2) আৰু (3) ৰ পৰা আমি ক’ব পাৰো যে যিকোনো ধনাত্মক অখন্দসংখ্যাৰ বৰ্গটো কোনো অখন্দসংখ্যা m ৰ বাবে 3m বা 3m + 1 ৰ আৰ্হিৰ হয়।
5. ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা ব্যৱহাৰ কৰি দেখুওৱা যে যিকোনো যোগাত্মক অখন্দসংখ্যাৰ ঘনফলটো 9m, 9m + 1 বা 9m + 8 আৰ্হিৰ ।
সমাধান:-
ধৰো,
x যিকোনো ধনাত্মক অখন্দসংখ্যা আৰু y = 3
ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা দ্বাৰা,
x = 3q + r, য’ত q ≥ 0 আৰু r = 0, 1, 2, r ≥ 0 আৰু r < 3 হিচাপে।
গতিকে r ৰ মান দিলে আমি পাম,
- ⇒ x = 3q
- ⇒ x = 3q + 1
- ⇒ x = 3q + 2
এতিয়া ওপৰৰ তিনিওটা ঘনক লৈ আমি পাওঁ,
case(i): যেতিয়া r = 0, তেতিয়া,
⇒ x³ = (3q)³ = 27q³ = 9(3q³) = 9m —————(1)
য’ত m = 3q³
case(ii): যেতিয়া r = 1, তেতিয়া,
x³ = (3q + 1)³ = (3q)³ + 1³ + 3 × 3q × (3q + 1) = 27q³ + 1 + 27q² + 9q
9 ক সাধাৰণ (common) হিচাপে লৈ আমি পাওঁ,
x³ = 9(3q³ + 3q² + q) + 1, য’ত (3q³ + 3q² + q) = m
ৰাখিলে আমি, পাম।
x³ = 9m + 1 ————————(2)
case(iii): যেতিয়া r = 2, তেতিয়া,
x³ = (3q + 2)³ = (3q)³ + 2³ + 3 × 3q × 2(3q + 2) = 27q³ + 54q² + 36q + 8
9 ক সাধাৰণ (common) হিচাপে লৈ আমি পাওঁ,
x³ = 9(3q³ + 6q² + 4q) + 8
য’ত (3q³ + 6q² + 4q) = m ৰাখিলে আমি, পাম।
x³ = 9m + 8 ————————(3)
গতিকে সমীকৰণ 1, 2 আৰু 3 ৰ পৰা আমি ক’ব পাৰো যে যিকোনো ধনাত্মক অখন্দসংখ্যাৰ ঘনফলটো কোনো অখন্দসংখ্যা m ৰ বাবে 9m, 9m + 1 বা 9m + 8 ৰ আৰ্হিৰ হয়।