অনুশীলনী – 7.1
1. তলৰ প্ৰতিযোৰ বিন্দুৰ মাজৰ দূৰত্ব নিৰ্ণয় কৰা।
(i) (2, 3), (4, 1)
Solution:-
\(\text{(i) (2, 3), (4, 1)}\)
দূৰত্ব সূত্ৰ \(d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}\)
দিয়া আছে, \( (x_1, y_1) = (2, 3) \) আৰু \((x_2, y_2) = (4, 1)\)
\(\therefore d = \sqrt{(4 – 2)^2 + (1 – 3)^2}\)
\(\implies d = \sqrt{2^2 + (-2)^2}\)
\(\implies d = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)
সেয়ে, বিন্দুৰ মাজৰ দূৰত্ব \(2\sqrt{2}\)
(ii) (-5. 7), (1, 3)
Solution:-
দূৰত্ব সূত্ৰ: \(d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}\)
দিয়া আছে, \((x_1, y_1) = (-5, 7) \) আৰু \((x_2, y_2) = (1, 3)\)
\(\therefore d = \sqrt{(1 – (-5))^2 + (3 – 7)^2}\)
\(\implies d = \sqrt{(1 + 5)^2 + (-4)^2}\)
\(\implies d = \sqrt{6^2 + (-4)^2}\)
\(\implies d = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\)
সেয়ে, বিন্দুৰ মাজৰ দূৰত্ব \(2\sqrt{13}\)
(iii) (a, b), (-a, -b)
Solution:-
দূৰত্ব সূত্ৰ: \( d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}\)
দিয়া আছে, \((x_1, y_1) = (a, b)\) আৰু \( (x_2, y_2) = (-a, -b)\)
\(\therefore d = \sqrt{(-a – a)^2 + (-b – b)^2}\)
\(\implies d = \sqrt{(-2a)^2 + (-2b)^2}\)
\(\implies d = \sqrt{4a^2 + 4b^2}\)
\(\implies d = \sqrt{4(a^2 + b^2)} = 2\sqrt{a^2 + b^2}\)
সেয়ে, বিন্দুৰ মাজৰ দূৰত্ব \( 2\sqrt{a^2 + b^2}\)
2. (0, 0) আৰু (36, 15) ৰ মাজৰ দূৰত্ব উলিওৱা। তুমি এতিয়া ওপৰৰ 7.2 অনুচ্ছেদত আলোচনা কৰা A আৰু B নগৰ দুখনৰ মাজৰ দূৰত্ব উলিয়াব পাৰিবানে?
Solution:-
(0, 0) আৰু (36, 15) ৰ মাজৰ দূৰত্ব উলিওৱা।
দূৰত্ব সূত্ৰ:\( d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}\)
দিয়া আছে, \( (x_1, y_1) = (0, 0) \) আৰু \(x_2, y_2) = (36, 15)\)
\(\therefore d = \sqrt{(36 – 0)^2 + (15 – 0)^2}\)
\(\implies d = \sqrt{36^2 + 15^2}\)
\(\implies d = \sqrt{1296 + 225}\)
\(\implies d = \sqrt{1521} = 39\)
সেয়ে, বিন্দুৰ মাজৰ দূৰত্ব 39
3. (1, 5), (2, 3) আৰু (-2, -11) বিন্দুকেইটা একৰেখীয় হয়নে নির্ণয় কৰা।
Solution:-
এটা ত্ৰিভুজৰ ক্ষেত্ৰফল সূত্ৰ:
\(\text{Area} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 – y_3) + x_2(y_3 – y_1) + x_3(y_1 – y_2) \right|\)
বিন্দুকেইটা গৃহীত: \( (1, 5), (2, 3), (-2, -11)\)
\(\text{Area} = \frac{1}{2} \left| 1(3 – (-11)) + 2(-11 – 5) + (-2)(5 – 3) \right|\)
\(\implies \frac{1}{2} \left| 1 \times 14 + 2 \times (-16) + (-2) \times 2 \right|\)
\(\implies \frac{1}{2} \left| 14 – 32 – 4 \right|\)
\(\implies \frac{1}{2} \left| -22 \right| = \frac{22}{2} = 11\)
যিহেতু ক্ষেত্ৰফল 11, সেয়ে বিন্দুকেইটা একৰেখীয় নহয়।
4. (5, -2), (6, 4) আৰু (7, -2) বিন্দুকেইটা এটা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজৰ শীর্ষবিন্দু হয় নে নহয় পৰীক্ষা কৰা।
Solution:-
দূৰত্ব সূত্ৰ: \(\sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}\)
(i) AB ৰ দূৰত্ব:
\(AB = \sqrt{(6 – 5)^2 + (4 – (-2))^2}\)
\(= \sqrt{1^2 + 6^2} = \sqrt{1 + 36} = \sqrt{37}\)
(ii) BC ৰ দূৰত্ব:
\(BC = \sqrt{(7 – 6)^2 + (-2 – 4)^2}\)
\(BC= \sqrt{1^2 + (-6)^2} = \sqrt{1 + 36} = \sqrt{37}\)
(iii) AC ৰ দূৰত্ব:
\(AC = \sqrt{(7 – 5)^2 + (-2 – (-2))^2}\)
\(AC= \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2\)
যিহেতু AB = BC = \(\sqrt{37}, \) সেয়ে বিন্দুকেইটা এটা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজৰ শীৰ্ষবিন্দু।}
5. এটা শ্রেণী কোঠাত 4 জন বন্ধু চিত্র 7.8ত দিয়াৰ দৰে A, B, C আৰু D স্থানত বহিছে। চম্পা আৰু চামেলি শ্রেণী কোঠালৈ সোমাই গ’ল আৰু অলপ সময় নিৰীক্ষণ কৰাৰ পাছত চম্পাই চামেলিক সুধিলে, “ABCD এটা বর্গ বুলি তুমি নাভাবানে?” চামেলিয়ে বর্গ নহ’ব বুলি জনালে। দূৰত্বৰ সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি তেওঁলোক দুজনীৰ কোন শুদ্ধ নিৰূপণ কৰা।
Solution:-
ABCD বিন্দুকেইটা বৰ্গ নে নহয় নিৰ্ণয় কৰা।
\(\text{A (3, 4), B (6, 7), C (8, 4), D (6, 1)}\)
(i) AB ৰ দূৰত্ব: \(AB = \sqrt{(6 – 3)^2 + (7 – 4)^2}\)
\(\Rightarrow AB = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}\)
(ii) BC ৰ দূৰত্ব: \(BC = \sqrt{(8 – 6)^2 + (4 – 7)^2}\)
\(\Rightarrow BC = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\)
(iii) CD ৰ দূৰত্ব: \(CD = \sqrt{(6 – 8)^2 + (1 – 4)^2}\)
\(\Rightarrow CD = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\)
(iv) DA ৰ দূৰত্ব: \( DA = \sqrt{(3 – 6)^2 + (4 – 1)^2}\)
\(\Rightarrow DA = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}\)
(v) AC ৰ দীঘলীয় দূৰত্ব: \(AC = \sqrt{(8 – 3)^2 + (4 – 4)^2} = \sqrt{5^2 + 0^2} = 5\)
(vi) BD ৰ দীঘলীয় দূৰত্ব: \( BD = \sqrt{(6 – 6)^2 + (7 – 1)^2} = \sqrt{0 + 6^2} = 6\)
যিহেতু বিপৰীত বাহু আৰু দীঘলীয় বাহু সমান নহয়, সেয়ে ABCD এটা বৰ্গ নহয়।
6. তলৰ বিন্দুবিলাকে যদি চতুর্ভুজ গঠন কৰে তেনেহ’লে সেই চতুর্ভুজৰ স্বৰূপ নিৰ্ণয় কৰা আৰু তোমাৰ উত্তৰৰ সপক্ষে কাৰণ দাঙি ধৰা।
(i) (-1, -2), (1, 0), (-1, 2), (-3, 0)
Solution:-
ধৰো, \(A (-1, -2), B (1, 0), C (-1, 2), D (-3, 0)\)
AB ৰ দূৰত্ব: \(AB = \sqrt{(1 – (-1))^2 + (0 – (-2))^2}\)
\(\Rightarrow AB = \sqrt{(1 + 1)^2 + (0 + 2)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}\)
BC ৰ দূৰত্ব: \(BC = \sqrt{(-1 – 1)^2 + (2 – 0)^2}\)
\(\Rightarrow BC = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}\)
CD ৰ দূৰত্ব: \(CD = \sqrt{(-3 – (-1))^2 + (0 – 2)^2}\)
\(\Rightarrow CD = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}\)
DA ৰ দূৰত্ব: \(DA = \sqrt{(-1 – (-3))^2 + (-2 – 0)^2}\)
\(\Rightarrow DA = \sqrt{(2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}\)
AC ৰ দীঘলীয় দূৰত্ব: \(AC = \sqrt{(-1 – (-1))^2 + (2 – (-2))^2} = \sqrt{0 + 4^2} = 4\)
BD ৰ দীঘলীয় দূৰত্ব: \(BD = \sqrt{(-3 – 1)^2 + (0 – 0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 0} = 4\)
যিহেতু চাৰি বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য সমান আৰু দীঘলীয় বাহু সমান, সেয়ে ABCD এটা বৰ্গ।
(ii) (-3, 5), (3, 1), (0, 3), (-1, -4)
Solution:-
ধৰো, \(\text{(ii) A (-3, 5), B (3, 1), C (0, 3), D (-1, -4)}\)
AB ৰ দূৰত্ব: \(AB = \sqrt{(3 – (-3))^2 + (1 – 5)^2}\)
\(\Rightarrow AB = \sqrt{(3 + 3)^2 + (1 – 5)^2} = \sqrt{6^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}\)
BC ৰ দূৰত্ব: \(BC = \sqrt{(0 – 3)^2 + (3 – 1)^2}\)
\(\Rightarrow BC = \sqrt{(-3)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\)
CD ৰ দূৰত্ব: \(CD = \sqrt{(-1 – 0)^2 + (-4 – 3)^2}\)
\(\Rightarrow CD = \sqrt{(-1)^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50}\)
DA ৰ দূৰত্ব: \(9DA = \sqrt{(-3 – (-1))^2 + (5 – (-4))^2}\)
\(\Rightarrow DA = \sqrt{(-2)^2 + 9^2} = \sqrt{4 + 81} = \sqrt{85}\)
AC ৰ দীঘলীয় দূৰত্ব: \(AC = \sqrt{(0 – (-3))^2 + (3 – 5)^2}\)
\(\Rightarrow AC = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\)
BD ৰ দীঘলীয় দূৰত্ব: \(BD = \sqrt{(-1 – 3)^2 + (-4 – 1)^2}\)
\(\Rightarrow BD = \sqrt{(-4)^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}\)
যিহেতু চাৰি বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য সমান নহয় আৰু বিপৰীত বাহু সমান নহয়, সেয়ে ABCD এটা অনিয়মিত চতুৰ্ভুজ।
(iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)
solution:-
ধৰো, \(A (4, 5), B (7, 6), C (4, 3), D (1, 2)\)
AB ৰ দূৰত্ব: \(AB = \sqrt{(7 – 4)^2 + (6 – 5)^2}\)
\(\Rightarrow AB = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}\)
BC ৰ দূৰত্ব:\(BC = \sqrt{(4 – 7)^2 + (3 – 6)^2}\)
\(\Rightarrow BC = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}\)
CD ৰ দূৰত্ব: \(CD = \sqrt{(1 – 4)^2 + (2 – 3)^2}\)
\(\Rightarrow CD = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}\)
DA ৰ দূৰত্ব: \(DA = \sqrt{(4 – 1)^2 + (5 – 2)^2}\)
\(\Rightarrow DA = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}\)
AC ৰ দীঘলীয় দূৰত্ব:\(AC = \sqrt{(4 – 4)^2 + (3 – 5)^2}\)
\(\Rightarrow AC = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4} = 2\)
BD ৰ দীঘলীয় দূৰত্ব: \(BD = \sqrt{(1 – 7)^2 + (2 – 6)^2}\)
\(\Rightarrow BD = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}\)
যিহেতু চাৰি বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য সমান নহয় আৰু বিপৰীত বাহু সমান নহয়, সেয়ে ABCD এটা অনিয়মিত চতুৰ্ভুজ।
7. (2, -5) আৰু (-2, 9) বিন্দু দুটাৰপৰা সমদূৰত্বত x অক্ষৰ ওপৰত থকা বিন্দুটো নিৰ্ণয় কৰা।
Solution:-
ধৰো, বিন্দুটো হয় \((x, 0)\)
এতিয়া, \(2, -5\) আৰু \((x, 0)\) ৰ মাজৰ দূৰত্ব = \(\sqrt{(x – 2)^2 + (0 – (-5))^2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x – 2)^2 + 5^2} = \sqrt{(x – 2)^2 + 25}\)
এতিয়া, \((-2, 9)\) আৰু (x, 0) ৰ মাজৰ দূৰত্ব = \(\sqrt{(x + 2)^2 + (0 – 9)^2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x + 2)^2 + 9^2} = \sqrt{(x + 2)^2 + 81}\)
যিহেতু বিন্দুটো সমদূৰত্বত আছে, সেয়ে
\(\sqrt{(x – 2)^2 + 25} = \sqrt{(x + 2)^2 + 81}\)
\(\Rightarrow (x – 2)^2 + 25 = (x + 2)^2 + 81\)
\(\Rightarrow x^2 – 4x + 4 + 25 = x^2 + 4x + 4 + 81\)
\(\Rightarrow x^2 – 4x + 29 = x^2 + 4x + 85\)
\(\Rightarrow -4x + 29 = 4x + 85\)
\(\Rightarrow 29 – 85 = 4x + 4x\)
\(\Rightarrow -56 = 8x\)
\(\Rightarrow x = \frac{-56}{8} = -7\)
সেয়ে, বিন্দুটি হৈছে \((-7, 0)\)
8. yৰ সেই মান নির্ণয় কৰা যাৰ বাবে P(2, -3) আৰু Q(10, y) বিন্দু দুটাৰ মাজৰ দূৰত্ব 10 একক হয়।
Solution:-
PQ ৰ দূৰত্ব: \(PQ = \sqrt{(10 – 2)^2 + (y – (-3))^2}\)
\(\Rightarrow PQ = \sqrt{(8)^2 + (y + 3)^2}\)
\(\Rightarrow PQ = \sqrt{64 + (y + 3)^2}\)
যিহেতু PQ = 10 একক, সেয়ে
\(\sqrt{64 + (y + 3)^2} = 10\)
স্কোৱেৰ কৰি পাই,
\(\Rightarrow 64 + (y + 3)^2 = 100\)
\(\Rightarrow (y + 3)^2 = 100 – 64\)
\(\Rightarrow (y + 3)^2 = 36\)
\(\Rightarrow y + 3 = \pm 6\)
এতিয়া,
\(\Rightarrow y = 6 – 3 = 3\)
অথবা, \(y = -6 – 3 = -9\)
সেয়ে, y ৰ মান হল 3 আৰু -9
9. যদি Q(0, 1) বিন্দুটো P(5, -3) আৰু R(x, 6) ৰ পৰা সমদূৰৱৰ্তী তেন্তে অৰ মান উলিওৱা। তদুপৰি QR আৰু PR দূৰত্বকেইটা উলিওৱা।
Solution:-
PQ ৰ দূৰত্ব: \(PQ = \sqrt{(0 – 5)^2 + (1 – (-3))^2}\)
\(\Rightarrow PQ = \sqrt{(-5)^2 + (1 + 3)^2}\)
\(\Rightarrow PQ = \sqrt{25 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}\)
QR ৰ দূৰত্ব: \(QR = \sqrt{(x – 0)^2 + (6 – 1)^2}\)
\(\Rightarrow QR = \sqrt{x^2 + 5^2}\)
\(\Rightarrow QR = \sqrt{x^2 + 25}\)
যিহেতু Q সমদূৰত্বত আছে, সেয়ে
\(\sqrt{41} = \sqrt{x^2 + 25}\)
স্কোৱেৰ কৰি পাই,
\(\Rightarrow 41 = x^2 + 25\)
\(\Rightarrow x^2 = 41 – 25\)
\(\Rightarrow x^2 = 16\)
\(\Rightarrow x = \pm 4\)
সেয়ে, x ৰ মান হল 4 আৰু -4
এতিয়া, QR আৰু PR উলিওৱা।
QR ৰ দূৰত্ব:
\(\Rightarrow QR = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}\)
\অথবা,
\(\Rightarrow QR = \sqrt{(-4)^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}\)
PR ৰ দূৰত্ব: \(PR = \sqrt{(x – 5)^2 + (6 – (-3))^2}\)
যদি x = 4, তেন্তে
\(\Rightarrow PR = \sqrt{(4 – 5)^2 + (6 + 3)^2}\)
\(\Rightarrow PR = \sqrt{(-1)^2 + 9^2} = \sqrt{1 + 81} = \sqrt{82}\)
যদি \(x = -4, \) তেন্তে
\(\Rightarrow PR = \sqrt{(-4 – 5)^2 + (6 + 3)^2}\)
\(\Rightarrow PR = \sqrt{(-9)^2 + 9^2} = \sqrt{81 + 81} = \sqrt{162}\)
সেয়ে, x = 4, -4, আৰু QR = \(\sqrt{41}\), PR =\(\sqrt{162}\)
10. x আৰু yৰ মাজৰ সম্পৰ্ক উলিওৱা যাতে (x, y) বিন্দুটো (3, 6) আৰু (-3, 4) বিন্দু দুটাৰপৰা সমদূৰৱৰ্তী হয়।
Solution:-
\((x, y)\) ৰ পৰা \((3, 6)\) বিন্দুৰ দূৰত্ব:
\(\Rightarrow \sqrt{(x – 3)^2 + (y – 6)^2}\)
\(x, y\) ৰ পৰা \(-3, 4\) বিন্দুৰ দূৰত্ব:
\(\Rightarrow \sqrt{(x + 3)^2 + (y – 4)^2}\)
যিহেতু বিন্দুটো সমদূৰৱৰ্তী, সেয়ে
\(\sqrt{(x – 3)^2 + (y – 6)^2} = \sqrt{(x + 3)^2 + (y – 4)^2}\)
স্কোৱেৰ কৰি পাই,
\((x – 3)^2 + (y – 6)^2 = (x + 3)^2 + (y – 4)^2\)
\(\Rightarrow x^2 – 6x + 9 + y^2 – 12y + 36 = x^2 + 6x + 9 + y^2 – 8y + 16\)
\(\Rightarrow x^2 – 6x + 9 + y^2 – 12y + 36 – x^2 – 6x – 9 – y^2 + 8y – 16 = 0\)
\(\Rightarrow -12x – 4y + 45 – 25 = 0\)
\(\Rightarrow -12x – 4y + 20 = 0\)
\(\Rightarrow 12x + 4y = 20\)
\(\Rightarrow 3x + y = 5\)
সেয়ে, x আৰু y ৰ মাজৰ সম্পৰ্ক হল \(3x + y = 5.\)