Exercise – 10.2
Class 10 Maths Circle Solution in Assamese medium বৃত্ত দশম শ্ৰেণীৰ সমাধান Seba Board Assam Exercise – 10.2
1. এটা বিন্দু Q ৰ পৰা এটা বৃত্তৰ স্পৰ্শকডালৰ দৈৰ্ঘ্য 24 চে.মি. আৰু কেন্দ্ৰৰ পৰা Q ৰ দূৰত্ব 25 চে.মি. বৃত্তটোৰ ব্যাসৰ্দ্ধ হ’ল:
(a) 7 cm
(b) 12 cm
(c) 15 cm
(d) 24.5 cm.
Solution:-
OP ⊥ PQ, অৰ্থাৎ OP আৰু PQ একে আনুভূমিক। চিত্ৰটোৰ পৰা দেখা যায় যে △OPQ এটা সমকোণী ত্ৰিভুজ।
স্পৰ্শকডালৰ দৈৰ্ঘ্য, PQ=24 cm
কেন্দ্ৰৰ পৰা বিন্দু Q ৰ দূৰত্ব, OQ=25 cm
পাইথোগৰাছৰ সূত্ৰমতে,
\(OQ^2 = OP^2 + PQ^2\)
\((25)^2 = OP^2 + (24)^2\)
\(625 = OP^2 + 576\)
\(OP^2 = 625 – 576\)
\(OP^2 = 49\)
\(OP = \sqrt{49} = 7 \, \text{cm}\)
2. চিত্র 10.11ত যদি O কেন্দ্ৰ যুক্ত এটা বৃত্তৰ TP আৰু TQ দুডাল স্পর্শক, যাতে POQ = 110°, তেন্তে ∠PTQ
Solution:-
\(OP ⊥ PT\) আৰু \(TQ ⊥ OQ\)
\(\therefore \angle OPT = \angle OQT = 90^\circ\)
POQT চতুৰ্ভুজটোত, অভ্যন্তৰীণ কোণসমূহৰ যোগফল \(360^\circ\) হয়।
\(\angle PTQ + \angle POQ + \angle OPT + \angle OQT = 360^\circ\)
\(\angle PTQ + 90^\circ + 110^\circ + 90^\circ = 360^\circ\)
\(\angle PTQ = 360^\circ – (90^\circ + 110^\circ + 90^\circ)\)
\(\angle PTQ = 70^\circ\)
সেয়ে, \(\angle PTQ = 70^\circ\), অৰ্থাৎ বিকল্প B
3. যদি এটা বিন্দু P ৰ পৰা O কেন্দ্রযুক্ত এটা বৃত্তৰ PA আৰু PB স্পর্শককেইডালে পৰস্পৰ 80° কোণত হালি থাকে, তেন্তে ∠POA
(a) 50°
(b) 60°
(c) 70°
(d) 80° ৰ মান।
Solution:-
প্ৰথমে, দিয়া তথ্য অনুসৰি চিত্ৰ অংকন কৰা
চিত্ৰটোত, OA হ’ল PA -ৰ স্পৰ্শকলৈ ব্যাসাৰ্ধ আৰু OB হ’ল PB -ৰ স্পৰ্শকলৈ ব্যাসাৰ্ধ।
OA ⊥ PA আৰু OB ⊥ PB, অৰ্থাৎ \(\angle OBP = \angle OAP = 90^\circ\)
AOBP চতুৰ্ভুজটোত:
অভ্যন্তৰীণ কোণসমূহৰ যোগফল \(360^\circ\)
\(\angle AOB + \angle OAP + \angle OBP + \angle APB = 360^\circ\)
\(\angle AOB + 260^\circ = 360^\circ\)
\(\angle AOB = 100^\circ\)
এতিয়া, \(\triangle OPB \)আৰু \(\triangle OPA \) ত:
\(AP = BP \),
\(OA = OB \) {বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ}
\(OP = OP \), {সাধাৰণ বাহু}
SSS নিয়ম অনুসৰি:
\(\triangle OPB \cong \triangle OPA\)
\(\therefore \angle POB = \angle POA\)
\(\angle AOB = \angle POA + \angle POB\)
\(2 \times \angle POA = \angle AOB\)
\(\angle POA = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ\)
সেয়ে, \(\angle POA = 50^\circ\),{ অৰ্থাৎ বিকল্প A শুদ্ধ।}
4. প্রমাণ কৰা যে বৃত্তৰ ব্যাসৰ মূৰত টনা স্পর্শকবোৰ সমান্তৰাল।
সমাধান:
এতিয়া, AO আৰু OB উভয়ো স্পৰ্শকলৈ ব্যাসাৰ্ধ আৰু \(\perp\)।
সেয়ে, \(OB \perp RS\) আৰু \(OA \perp PQ\)
অতএব, \(\angle OAP = \angle OAQ = \angle OBR = \angle OBS = 90^\circ\)
উপৰোক্ত চিত্ৰ অনুসৰি, কোণ OBR আৰু OAQ বিকল্প অভ্যন্তৰীণ কোণ।
ইয়াৰোপৰি, \(\angle OBR = \angle OAQ\) আৰু \(\angle OBS = \angle OAP\)
কাৰণ এইবোৰ বিকল্প অভ্যন্তৰীণ কোণ।
সেয়ে, PQ ৰেখা আৰু RS ৰেখা ইকৰণ হ’ব বুলি কোৱা যায়।
\(\therefore\) Hence Proved.
5. প্রমাণ কৰা যে বৃত্তৰ স্পৰ্শকৰ স্পর্শবিন্দুত টনা লম্বডাল কেন্দ্ৰৰ মাজেৰে যায়।
Solution:-
যিহেতু এটা বৃত্তৰ যিকোনো বিন্দুত টনা স্পর্শকডাল স্পর্শবিন্দুৰ মাজেৰে লম্ব।
∴ AB ⏊ OP অর্থাৎ ∠OPB = 90° …(1)
অংকন মতে,
AB ⏊ PQ ∠QPB = 90° …(2)
(1) আৰু (2)ৰ পৰা
∠QPB = ∠OPВ
যিটো সত্য যেতিয়া আৰু O একেটাই বিন্দু।
গতিকে, বৃত্তৰ স্পৰ্শকৰ স্পর্শবিন্দুত টনা লম্বডাল কেন্দ্রৰ মাজেৰে যায়।
6. বৃত্তৰ কেন্দ্ৰৰপৰা 5 চে.মি. দূৰত্বত থকা এটা বিন্দু A ৰ পৰা স্পর্শক এডালৰ দৈর্ঘ্য 4 চে.মি.। বৃত্তটোৰ ব্যাসার্দ্ধ নির্ণয় কৰা।
Solution:-
যিহেতু এটা বৃত্তৰ যিকোনো বিন্দুত টনা স্পৰ্শকডাল স্পৰ্শবিন্দুৰ মাজেৰে যোৱা ব্যাসাৰ্ধৰ লম্ব।
\(\therefore \angle OTA = 90^\circ\)
এতিয়া, \(\triangle OTA \) সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰা আমি পাওঁ
\(\implies OP^2 = OT^2 + PT^2\)
\(\implies 5^2 = OT^2 + 4^2\)
\(\implies OT^2 = 5^2 – 4^2\)
\(\implies OT^2 = (5 – 4)(5 + 4)\)
\(\implies OT^2 = 1 \times 9 = 9 = 3^2\)
\(\therefore OT = 3\)
গতিকে, বৃত্তটোৰ ব্যাসাৰ্ধ \( 3 \, \text{cm।}\)
7. 5 চে.মি. আৰু 3 চে.মি. ব্যাসার্দ্ধৰ দুটা ঐককেন্দ্রিক বৃত্ত আছে। ডাঙৰ বৃত্তৰ জ্যাডালে সৰু বৃত্তক স্পর্শ কৰে, জ্যাডালৰ দৈর্ঘ্য নির্ণয় কৰা।
Solution:-
চিত্রত ঐককেন্দ্রিক বৃত্তৰ কেন্দ্র O। AB ডাঙৰ বৃত্তটোৰ জ্যা আৰু ই সৰু বৃত্তটোক P বিন্দুত স্পর্শ কৰে। যিহেতু OP ব্যাসার্ধই সৰু বৃত্তটোৰ P স্পর্শবিন্দুত স্পর্শ কৰে
∴ OP ⏊ AB
⇒ ∠APB = 90°
তদুপৰি, বৃত্তৰ কেন্দ্ৰৰ পৰা জ্যালৈ টনা লম্বই জ্যাডালক সমানেই দুভাগ কৰে
∴ OPয়ে AB ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে
⇒ AP = \(\frac{1}{2}\)AB
এতিয়া, ∆ΑΡΟ সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰা
OA² = AP² – OP²
⇒ 5² = AP² – 3²
⇒ AP² = 5² – 3²
⇒ AP² = (5 – 3) (5 + 3) = 2 × 8
⇒ AP² = 16 = (4)²
⇒ AP = 4 cm
⇒ ½ AB = 4 ⇒ AB = 2 × 4 = 8 cm
গতিকে AB জ্যাডালৰ দৈর্ঘ্য ৪ cm।