Class 10 Maths Chapter 4 in Assamese medium। Exercise 4.2 ।গণিত অনুশীলনী 4.2 ।দ্ধিঘাত সমীকৰণ ।দশম শ্ৰেণী SEBA BOARD
Exercise – 4.2
1. উৎপাদকীকৰণ পদ্ধতিৰে তলৰ দ্বিঘাত সমীকৰণবোৰৰ মূলবোৰ উলিওৱা।
\( (i) x^2 – 3x – 10 = 0\)
\(⇒ x^2 – 5x + 2x – 10 = 0\)
\(⇒ x(x – 5) + 2(x – 5) = 0\)
\(⇒ (x – 5)(x + 2) = 0\)
\(⇒ x – 5 = 0\) নাইবা \(x + 2 = 0\)
\(⇒ x = 5\) নাইবা \(x = -2\)
\((ii) 2x^2 + x – 6 = 0\)
\(⇒ 2x^2 + 4x – 3x – 6 = 0\)
\(⇒ 2x(x + 2) – 3(x + 2) = 0\)
\(⇒ (x + 2)(2x – 3) = 0\)
\(⇒ x + 2 = 0 \) নাইবা \(2x – 3 = 0\)
\(⇒ x = -2\) নাইবা \(x =\frac{3}{2}\)
(iii) \(√2x^2 + 7x + 5√2 = 0\)
\(⇒ √2x^2 +2x + 5x + 5√2 = 0\)
\(9⇒ √2x(x + √2) + 5(x + √2) = 0\)
\(⇒ (x + √2)(√2x + 5) = 0\)
\(⇒ x + √2 = 0 \)নাইবা \(√2x + 5 = 0\)
\(⇒ x = -√2 \)নাইবা \(x = 5/√2\)
\((iv) 2x^2 – x + 1/8 = 0\)
\(16^2- 8x + 1 = 0\)
\(⇒ 16x^2 – 4x – 4x + 1 = 0\)
\(⇒ 4x(4x – 1) – 1(4x – 1) = 0\)
\(⇒ (4x – 1)(4x – 1) = 0\)
\(⇒ 4x – 1 = 0\) নাইবা \(4x – 1 = 0\)
\(⇒ x = 1/4 \) নাইবা \(x = 1/4\)
\((v) 100x^2 – 20x + 1 = 0\)
\(⇒ (10x)^2 – 2.10x.1 + 1^2 = 0\)
\(⇒ (10x – 1)^2\)
\(⇒ 10x – 1 = 0\)
\(⇒ x = \frac{1}{10}\)
\((vi) 2x^2 – 7x + 6 = 0\)
\(⇒ 2x^2 – 4x – 3x + 6 = 0\)
\(⇒ 2x(x – 2) – 3(x – 2) = 0\)
\(⇒ (x – 2)(2x – 3) = 0\)
\(⇒ x – 2 = 0 \) নাইবা \(2x – 3 = 0\)
\(⇒ x = 2\) নাইবা \(x = \frac{3}{2}\)
\((vii) x^2 – 10x – 96 = 0\)
\(⇒ x^2 + 6x – 16x – 96 = 0\)
\(⇒ x(x + 6) – 16(x + 6) = 0\)
\(⇒ (x + 6)(x – 16) = 0\)
\(⇒ x + 6 = 0\) নাইবা \(x – 16 = 0\)
\(⇒ x = -6\) নাইবা \(9x = 16\)
\((viii) √3x^2 + 10x +7√3 = 0\)
\(⇒ √3x^2 + 3x + 7x + 7√3 = 0\)
\(⇒ √3x( x + √3) + 7(x + √3) = 0\)
\(⇒ (x + √3)(√3x + 7) = 0\)
\(⇒ x + √3 = 0\) নাইবা \(√3x + 7 = 0\)
\(⇒ x = -√3\) নাইবা \(x = \frac{7}{√3}\)
\((ix) x^2 + 2√2x + 2 = 0\)
\(⇒ x^2 + √2x + √2x + 2 = 0\)
\(⇒ x(x + √2) + √2(x + √2) = 0\)
\(⇒ (x + √2)(x + √2) = 0\)
\(⇒ x + √2 = 0\) নাইবা \(x + √2 = 0\)
\(⇒ x = -√2\) নাইবা \(x = -√2\)
\((x) 14x + 5 – 3x^2= 0\)
\(⇒ 3x^2 – 14x – 5 = 0\)
\(⇒ 3x^2 – 15x + x – 5 = 0\)
\(⇒ 3x(x – 5) + 1(x – 5) = 0\)
\(⇒ (x – 5)(3x + 1) = 0\)
\(⇒ x – 5 = 0\) নাইবা\( 3x + 1 = 0\)
\(⇒ x = 5 \)নাইবা \(x = \frac{-1}{3}\)
2. উদাহৰণ 1 ত দিয়া সমস্যা দুটা সমাধান কৰা।
(i) জন আৰু জয়ন্তী দুয়োৰে 45 টা মাৰ্বল আছে। তেওঁলোকৰ প্ৰত্যেকে 5 টাকৈ মাৰ্বল হেৰালে এতিয়া তেওঁলোকৰ হাতত থকা মাৰ্বলৰ সংখ্যাৰ গুণফল 124। আমি উলিয়াব লাগে, আৰম্ভণিতে তেওঁলোকৰ কেইটাকৈ মাৰ্বল আছিল।
সমাধান: ধৰা হওক,
জনৰ আৰম্ভণিৰ মাৰ্বলৰ সংখ্যা = \(x…………….(i)\)
জয়ন্তীৰ আৰম্ভণিৰ মাৰ্বলৰ সংখ্যা = \(y…………. (ii)\)
\[\therefore x + y = 45 \]
\[\implies (x – 5)(y – 5) = 124\]
প্রথম সমীকৰণৰ পৰা
\(\implies y = 45 – x \)
এইটো দ্বিতীয় সমীকৰণত বহুৱাওঁ:
\[\implies (x – 5)(45 – x – 5) = 124\]
\[\implies (x – 5)(40 – x) = 124\]
\[\implies 40x – x^2 – 200 + 5x = 124\]
\[\implies-x^2 + 45x – 324 = 0\]
\[\implies x^2 – 45x + 324 = 0\]
\[\implies (x – 9)(x – 36) = 0\]
\[\implies x = 9 \quad \text{or} \quad x = 36\]
∴ জনৰ হাতত থকা মাৰ্বলৰ সংখ্যা \(x = 9\) টা
আৰু জয়ন্তীৰ হাতত থকা মাৰ্বলৰ সখ্যা \(45 – x = 45 – 9 = 36\) টা।
আকৌ, জনৰ হাতত থকা মাৰ্বলৰ সংখ্যা \(x = 36\) টা
আৰু জয়ন্তীৰ হাতত থকা মাৰ্বলৰ সংখ্যা \(45 – x = 45 – 36 = 9\) টা
(ii) এটা কুটীৰ শিল্পই এদিনত এটা নিৰ্দিষ্ট সংখ্যক পুতলা তৈয়াৰ কৰে। দেখা গ’ল প্ৰতিটো পুতলা উৎপাদনৰ খৰছ 55 বিয়োগ এদিনত উৎপাদিত পুতলাৰ সংখ্যা। এটা বিশেষ দিনত সমুদায় উৎপাদনৰ খৰছ 750। আমি নিৰ্ণয় কৰিব লাগে সিদিনাখন উৎপাদন হোৱা পুতলাৰ সংখ্যা কিমান?
(ii) এটা কুটীৰ শিল্পই এদিনত এটা নিৰ্দিষ্ট সংখ্যক পুতলা তৈয়াৰ কৰে। দেখা গ’ল প্ৰতিটো পুতলা উৎপাদনৰ খৰছ 55 বিয়োগ এদিনত উৎপাদিত পুতলাৰ সংখ্যা। এটা বিশেষ দিনত সমুদায় উৎপাদনৰ খৰছ 750। আমি নিৰ্ণয় কৰিব লাগে সিদিনাখন উৎপাদন হোৱা পুতলাৰ সংখ্যা কিমান?
সমাধান:
ধৰো, সেই বিশেষ দিনটোত উৎপাদিত পুতলাৰ সংখ্যা \( x \).
∴ প্ৰতিটো পুতলাৰ উৎপাদনৰ খৰছ = \( 55 – x \).
প্ৰশ্নমতে: \[\implies x(55 – x) = 750 \]
সমীকৰণটো সমাধান কৰোঁ:
\[\implies 55x – x^2 = 750 \]
\[\implies x^2 – 55x + 750 = 0 \]
\[\implies x^2 – 50x – 15x + 750 = 0 \]
\[\implies x(x – 50) – 15(x – 50) = 0 \]
\[(x – 50)(x – 15) = 0 \]
\[\implies x – 50 = 0 \quad \text{or} \quad x – 15 = 0 \]
\[\implies x = 50 \quad\text {or}\quad x = 15 \]
সেইদিনা উৎপাদন হোৱা পুতলাৰ সংখ্যা \( \boxed{50} \) টা বা \( \boxed{15} \) টা।
3. দুটা সংখ্যা উলিওৱা যাৰ সমষ্টি 27 আৰু গুণফল 182
Solution:-
ধৰো এটা সংখ্যা = \(x\)
তেন্তে, আনটো সংখ্যা হব: = \[27 – x\]
প্ৰশ্নমতে:
\[\implies x(27 – x) = 182\]
\[\implies 27x – x^2 = 182\]
\[\implies x^2 – 27x + 182 = 0\]
\[\implies x^2 – 14x – 13x + 182 = 0\]
\[\implies x(x – 14) – 13(x – 14) = 0\]
\[\implies (x – 14)(x – 13) = 0\]
\[\implies x – 14 = 0 \]
\[\implies x = 14\]
\[\implies x – 13 = 0 \]
\[\implies x = 13\]
সংখ্যা দুটা হল \(= 14\) আৰু \(13\)
4. দুটা ক্ৰমিক যোগাত্মক সংখ্যা উলিওৱা যাৰ বৰ্গৰ যোগফল 365।
সমাধান:
ধৰোঁ, সৰু সংখ্যাটো = \( a \).
∴ ডাঙৰ সংখ্যাটো = \( a + 1 \).
প্ৰশ্নমতে:
\[ a^2 + (a + 1)^2 = 365 \]
সমীকৰণটো সমাধান কৰা হ’ল:
\[\implies a^2 + (a + 1)^2 = 365 \]
\[\implies a^2 + a^2 + 2a + 1 = 365 \]
\[\implies 2a^2 + 2a + 1 = 365 \]
\[\implies 2a^2 + 2a – 364 = 0 \]
\[\implies a^2 + a – 182 = 0 \]
\[\implies a^2 + 14a – 13a – 182 = 0 \]
\[\implies a(a + 14) – 13(a + 14) = 0 \]
\[\implies (a + 14)(a – 13) = 0 \]
\[ \implies a + 14 = 0 \quad \text{or} \quad a – 13 = 0 \]
\[\implies a = -14 \] (অসম্ভৱ) \[\implies a = 13 \]
উত্তৰ: সংখ্যা দুটা হৈছে \( \boxed{13} \) আৰু \( \boxed{14} \).
5. এটা সমকোণী ত্ৰিভূজৰ উচ্চতা ইয়াৰ ভূমিতকৈ 7 চে.মি. কম। যদি অতিভূজটো 13 চে.মি. হয়, তেন্তে বাহু দুটা উলিওৱা।
সমাধান: ধৰোঁ, ভূমিৰ দৈৰ্ঘ্য = \( x \) চে.মি.
∴ উচ্চতা = \( x – 7 \) চে.মি.
পাইথাগোৰাছৰ সূত্ৰমতে:
\[ x^2 + (x – 7)^2 = 13^2 \]
\[ \begin{align*}\implies x^2 + (x^2 – 14x + 49) &= 169 \\\implies 2x^2 – 14x + 49 &= 169 \\\implies 2x^2 – 14x – 120 &= 0 \\\implies x^2 – 7x – 60 &= 0 \\\implies x^2 – 12x + 5x – 60 &= 0 \\\implies x(x – 12) + 5(x – 12) &= 0 \\\implies (x – 12)(x + 5) &= 0 \\ \end{align*} \]
\[\therefore \begin{align*} x – 12 &= 0 \quad \text{or} \quad x + 5 = 0 \\ x &= 12 \quad \text{or} \quad x = -5 \quad \text{(impossible)} \\ \end{align*} \]
উত্তৰ:
ভূমি = \( \boxed{12} \) চে.মি., উচ্চতা = \( 12 – 7 = \boxed{5} \) চে.মি.
6. এটা কুটীৰ শিল্পই দৈনিক এটা নিৰ্দিষ্ট সংখ্যাক মাটিৰ বাচন তৈয়াৰ কৰে। এদিন দেখা গ’ল যে প্ৰতিটো বস্তুৰ উৎপাদনৰ খৰছ সিদিনাৰ উৎপাদিত বস্তুৰ সংখ্যাৰ দুগুণতকৈ 3 বেছি। যদি সিদিনাৰ উৎপাদনৰ মুঠ ব্যয় 90 টকা, উৎপাদিত বস্তুৰ সংখ্যা আৰু প্ৰতিটো বস্তুৰ ব্যয় কিমান হ’ব উলিওৱা।
সমাধান:
ধৰোঁ, উৎপাদিত বস্তুৰ সংখ্যা = \( x \).
∴ প্ৰতিটো বস্তুৰ ব্যয় = \( 2x + 3 \) টকা.
প্ৰশ্নমতে,
\[\implies \begin{align*} x(2x + 3) = 90 \\\implies x(2x + 3) &= 90 \\\implies 2x^2 + 3x &= 90 \\\implies 2x^2 + 3x – 90 &= 0 \\\implies 2x^2 + 15x – 12x – 90 &= 0 \\\implies x(2x + 15) – 6(2x + 15) &= 0 \\\implies (2x + 15)(x – 6) &= 0 \\ \end{align*} \]
গতিকে, \[\begin{align*} 2x + 15 &= 0 \quad \text{or} \quad x – 6 = 0 \\ x &= -\frac{15}{2} \quad \text{(impossible)} \quad \text{or} \quad x = 6 \\ \end{align*} \]
উত্তৰ:
উৎপাদিত বস্তুৰ সংখ্যা = \( \boxed{6} \), প্ৰতিটোৰ ব্যয় = \( 2(6) + 3 = \boxed{15} \) টকা।