অনুশীলনী – 5.1
1. তলৰ পৰিস্থিতিবিলাকৰ লগত জড়িত সংখ্যাৰ তালিকাবিলাকৰ কোনবিলাকে সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰিব আৰু কিয় কৰিব?
(i) প্ৰথম কিলোমিটাৰত টেক্সি ভাড়া 15 টকা আৰু তাৰ পিছত তাৰ পিছৰ প্ৰতি অতিৰিক্ত কিলোমিটাৰত 8 টকাকৈ হ’লে প্ৰতি কিলোমিটাৰৰ অন্তত টেক্সিৰ ভাড়া।
উত্তৰঃ ই এটা সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰিব।
সমান্তৰ প্ৰগতিটো হৈছে 一 15, 23, 31, 39, 47,…….
(ii) এটা গেছ চিলিণ্ডাৰৰ পৰা ভেকুৱাম পাম্প এটাই এবাৰত চিলিণ্ডাৰত থকা বায়ুৰ 1/4 অংশ নিষ্কাশন কৰিলে সেই চিলিণ্ডাৰটোত প্ৰতিবাৰ নিষ্কাশনৰ পিছত ৰৈ যোৱা বায়ুৰ পৰিমাণ।
উত্তৰঃ ই এটা সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন নকৰে। আয়তন সমূহ 一
ধৰো, প্ৰথম পদটো = V
দ্ধিতীয় পদটো = V – \(\frac{1}{4}\)V
= \(\frac{3}{4}\) V
তৃতীয় পদটো = \(\frac{3}{4}\) V – \(\frac{3}{4}\)* \(\frac{1}{4}\)V = (\(\frac{3}{4})^2\) V
এতেকে,সমান্তৰ প্ৰগতিটো = \(v, \; \frac{1}{4}V, \: (\frac{3}{4})^2V\)
(iv) 10000 টকা বছৰি 8% মিশ্ৰ সুতৰ হাৰত জমা কৰিলে সেই একাউণ্টত প্ৰতি বছৰে থাকিব লগা ধনাৰ পৰিমাণ।
উত্তৰঃ দিয়া আছে,
মূলধন = 10000
সুতৰ হাৰ = 8%
ই সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন নকৰে।
সবৃদ্ধিমূলসমূহ হৈছে 一 1000 \([1+\frac{8}{100}]^1\ , \; 1000 [1+\frac{8}{100}]^2\ , \; 1000 [1+\frac{8}{100}]^3\) ……………….
2. যদি প্ৰথম পদ a আৰু সাধাৰণ অন্তৰ d তলত দিয়া ধৰণৰ, তেন্তে প্ৰতিটো AP ৰে প্ৰথম চাৰিটা পদ লিখাঃ
(i) a = 10, d = 10
উত্তৰঃ আমি জানো যে, \(a_n = a +(n-1)d\)
প্ৰথম পদ = 10+(1-1)10 = 10
দ্ধিতীয় পদ = 10+(2-1)10 = 10 + 10 =20
তৃতীয় পদ = 10+(3-1)10 = 10 +2 *10 =10+20 = 30
চতুৰ্থ পদ = 10+(4-1)10 = 10 +3*10 =10+30 = 40
এতেকে, প্ৰথম পদ চাৰিটা হৈছে = 10,20,30,40
(ii) a = -2, d = 0
উত্তৰঃ আমি জানো যে, \(a_n = a +(n-1)d\)
প্ৰথম পদ = -2+(1-1)0 = -2
দ্ধিতীয় পদ = -2 +(2-1)0 = -2
তৃতীয় পদ = -2 +(3-1)0 = -2
চতুৰ্থ পদ = -2 + (4-1)0 = -2
এতেকে, প্ৰথম পদ চাৰিটা হৈছে = -2, -2, -2, -2
(iii) a = 4, d = -3
উত্তৰঃ আমি জানো যে, \(a_n = a +(n-1)d\)
প্ৰথম পদ = 4+(1-1)(-3) = 4
দ্ধিতীয় পদ = 4 + (2-1)(-3) = 4 – 3 = 1
তৃতীয় পদ = 4 + (3-1)(-3) = 4 +2 *(-3) = 4 – 6 = -2
চতুৰ্থ পদ = 4 +(4-1)(-3) = 4 +3*(-3) = 4 – 9 = -5
এতেকে, প্ৰথম পদ চাৰিটা হৈছে = 4 , 1 , -2 , -5
(iv) a = – 1 , d = \(\frac{1}{2}\)
উত্তৰঃ আমি জানো যে, \(a_n = a +(n-1)d\)
প্ৰথম পদ = -1 +(1-1) (\(\frac{1}{2}\)) = -1
দ্ধিতীয় পদ = -1 +(2-1) (\(\frac{1}{2}\)) = -1 + \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{-1}{2}\)
তৃতীয় পদ = -1 +(3-1) (\(\frac{1}{2}\)) = -1 + 2(\(\frac{1}{2}\)) = -1 + 1 = 0
চতুৰ্থ পদ = -1 +(4-1) (\(\frac{1}{2}\)) = -1 + 3(\(\frac{1}{2}\)) = -1 + \(\frac{3}{2}\) = \(\frac{-2 + 3}{2}\) = (\(\frac{1}{2}\))
এতেকে, প্ৰথম পদ চাৰিটা হৈছে = -1 , \(\frac{-1}{2}\) , 0 ,(\(\frac{1}{2}\))
(v) a = -1.25, d = – 0.25
উত্তৰঃ- উত্তৰঃ আমি জানো যে, \(a_n = a +(n-1)d\)
প্ৰথম পদ = – 1.25 + (1-1)(-0.25) = – 1.25
দ্ধিতীয় পদ = – 1.25 + (2-1)(-0.25) = – 1.25 – 0.25 = -1.5
তৃতীয় পদ = – 1.25 + (3-1)(-0.25) = – 1.25 – 2* 0.25 = – 1.25 – 2* 0.25 = – 1.25 – 0.50 = – 1.75
চতুৰ্থ পদ = – 1.25 + (4-1)(-0.25) = – 1.25 – 3* 0.25 = – 1.25 – 0.75 = -2
এতেকে, প্ৰথম পদ চাৰিটা হৈছে = – 1.25 , – 1.5 , – 1.75 , -2
3. তলত দিয়া সমান্তৰ প্ৰগতিসমূহৰ প্ৰথম পদ আৰু সাধাৰণ অন্তৰ নিৰ্ণয় কৰাঃ
(i) 3, 1, -1, -3, ………
উত্তৰঃ ইয়াত প্ৰথম পদ a = 3
সাধাৰণ অন্তৰ d = 1 – 3 = -2
(ii) -5, -1, 3, 7, …….
উত্তৰঃ ইয়াত প্ৰথম পদ , a = -5
সাধাৰণ অন্তৰ , d = -1 – (-5) = -1 + 5 = 4
(iii) 1/3, 5/3, 9/3, 13/3
উত্তৰঃইয়াত প্ৰথম পদ a = \(\frac{1}{3}\)
আৰু সাধাৰণ অন্তৰ d = \(\frac{1}{3}\ – \frac{1}{2}\) = \(\frac{2 – 3}{2}\) = \(\frac{-1}{2}\)
(iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3.9, …….
উত্তৰঃ ইয়াত প্ৰথম পদ a = 0.6
সাধাৰণ অন্তৰ d = 1.7 – 0.6 = 1.1
4. তলৰ কোনবোৰ সমান্তৰ প্ৰগতিত আছে? যিবিলাকে সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰিছে তাৰ প্ৰতিটোৰে সাধাৰণ অন্তৰ d নিৰ্ণয কৰা আৰু পৰবৰ্তী তিনিটাকৈ পদ নিৰ্ণয় কৰা।
(i) 2, 4, 8, 16, ……….
উত্তৰঃ ইয়াত দ্বিতীয় পদ – প্ৰথম পদ =4 – 2 = 2
তৃতীয় পদ – দ্বিতীয় পদ = 8 – 4 = 4
∴ সমান্তৰ প্ৰগতিত নাই।
(ii) 2 , \(\frac{5}{2}\) , 3 , \(\frac{7}{2}\)………………….
উত্তৰঃ ইয়াত প্ৰথম পদ = 2
দ্বিতীয় পদ – প্ৰথম পদ = \(\frac{5}{2}\) – 2 = \(\frac{1}{2}\)
আৰু তৃতীয় পদ – দ্বিতীয় পদ = 3 -\(\frac{5}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)
অৰ্থাৎ d = \(\frac{1}{2}\)
∴ সমান্তৰ প্ৰগতিত আছে।
∵ ইয়াৰ প্ৰথম পদ a = 2 আৰু 4 টা পদ দিয়া আছে
∴ ইয়াৰ পৰবৰ্তী তিনিটা পদ হৈছে 一
পষ্ণম পদ = 2 +(5-1) (\(\frac{1}{2}\)) = 2 +4 \(\frac{1}{2}\) = 2 + 2 = 4
ষষ্ঠ পদ = 2 +(6-1) (\(\frac{1}{2}\)) = 2 + \(\frac{5}{2}\) = \(\frac{9}{2}\)
সপ্তম পদ = 2 +(7-1) (\(\frac{1}{2}\)) = 2 + 6(\(\frac{1}{2}\)) = 5
(iii) -1.2, -3.2, -5.2, -7.2, ………..
উত্তৰঃ ইয়াত দ্বিতীয় পদ – প্ৰথম পদ = -3.2 – (-1.2) = -3.2 + 1.2 = -2
আৰু তৃতীয় পদ – প্ৰথম পদ = -5.2 – (-3.2) = -5.2 + 3.2 = -2
অৰ্থাৎ d = -2
∴ ই সমান্তৰ প্ৰগতিত আছে।
∵ ইয়াৰ প্ৰথম পদ a = -1.2 আৰু 4 টা পদ দিয়া আছে
∴ পৰবৰ্তী পদ তিনিটা হৈছে 一
পষ্ণম পদ = -1.2 +(5-1) *(-2) = – 1.2 + 4*(-2) = -1.2 – 8 = – 9.2
ষষ্ঠ পদ = -1.2 +(6-1) *(-2) = – 1.2 + 5*(-2) = -1.2 – 10 = – 11.2
সপ্তম পদ = -1.2 +(7-1) *(-2) = – 1.2 + 6*(-2) = -1.2 – 12 = – 13.2
(iv) -10, -6, -2, 2,……….
উত্তৰঃ ইয়াত দ্বিতীয় পদ – প্ৰথম পদ = -6 – (-10) = -6 + 10 = 4
আৰু তৃতীয় পদ – দ্বিতীয় পদ = -2 – (-6) = -2 + 6 = 4
অৰ্থাৎ d = 4
∴ সমান্তৰ প্ৰগতিত আছে।
পষ্ণম পদ = -10 +(5-1) *(4) = – 10 + 4*(4) = -10 + 16 = 6
ষষ্ঠ পদ = -10 +(6-1) *(4) = – 10 + 5*(4) = -10 + 20 = 10
সপ্তম পদ = -10 +(7-1) *(4) = – 10 + 6*(4) = -10 + 24 = 14
(v) 3, 3 + √2, 3 + 2√2, 3 + 3√2
উত্তৰঃ ইয়াত দ্বিতীয় পদ – প্ৰথম পদ = 3 + √2 – 3 = √2
আৰু তৃতীয় পদ – দ্বিতীয় পদ = 3 + 2√2 – (3 + √2) = 3 + 2√2 – 3 – √2 = √2
অৰ্থাৎ d = √2
∴ ই সমান্তৰ প্ৰগতিত আছে।
পষ্ণম পদ = 3 +(5-1) *(√2) = 3 + 4√2
ষষ্ঠ পদ = 3 +(6-1) *(√2) = 3 + 5√2
সপ্তম পদ = 3 +(7-1) *(√2) = 3 + 6√2
(vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, ………..
উত্তৰঃ ইয়াত দ্বিতীয় পদ – প্ৰথম পদ = 0.22 – 0.2 = 0.02
আৰু তৃতীয় পদ – দ্বিতীয় পদ = 0.222 – 0.22 = 0.002
∴ ই সমান্তৰ প্ৰগতিত নাই।
(vii) 0, -4, -8, -12, …………
উত্তৰঃ ইয়াত দ্বিতীয় পদ – প্ৰথম পদ = -4 – 0 = -4
আৰু তৃতীয় পদ – দ্বিতীয় পদ = -8 – (-4) = -8 + 4 = -4
অৰ্থাৎ d = -4
∴ সমান্তৰ প্ৰগতিত আছে।
পষ্ণম পদ = 0 +(5-1) *(-4) = 0 + 4(-4) = -16
ষষ্ঠ পদ =0 +(6-1) *(-4) = 0 + 5(-4) = -20
সপ্তম পদ = 0 +(7-1) *(-4) = 0 + 6(-4) = -24
(viii) \(\frac{-1}{2}\), \(\frac{-1}{2}\) ,\(\frac{-1}{2}\) …….
উত্তৰঃ ইয়াত দ্বিতীয় পদ – প্ৰথম পদ = \(\frac{-1}{2}\) – \(\frac{-1}{2}\) =\(\frac{-1}{2}\) + \(\frac{1}{2}\) = 0
আৰু তৃতীয় পদ – দ্বিতীয় পদ = \(\frac{-1}{2}\) – \(\frac{-1}{2}\) =\(\frac{-1}{2}\) + \(\frac{1}{2}\) = 0
অৰ্থাৎ d = -4
∴ সমান্তৰ প্ৰগতিত আছে।
পষ্ণম পদ =\(\frac{-1}{2}\) +(5-1) *(0) = \(\frac{-1}{2}\)
ষষ্ঠ পদ =\(\frac{-1}{2}\) +(6-1) *(0) = \(\frac{-1}{2}\)
সপ্তম পদ = \(\frac{-1}{2}\) +(7-1) *(0) = \(\frac{-1}{2}\)