অনুশীলনী – 1(B)
1. তলৰ চৰ্ত সিদ্ধ হোৱাকৈ অখণ্ড সংখ্যা a আৰু b নিৰ্ণয় কৰা যাতে
i) a + b ধনাত্মক
ii) a + b ঋণাত্মক
iii) a + b = 0
iv) a + b আৰু a + b = 0
v) a ≠ b আৰু a – b = 0
vi) a ধনাত্মক, b ঋণাত্মক আৰু a – b ধনাত্মক
vii) a ধনাত্মক, b ঋণাত্মক আৰু a + b ঋণাত্মক, a ধনাত্মক, b ঋণাত্মক আৰু a + b = 1
viii) a ঋণাত্মক, b ধনাত্মক আৰু a + b ধনাত্মক
ix) a ঋণাত্মক, b ধনাত্মক আৰু a + b ঋণাত্মক
x) a ঋণাত্মক, b ধনাত্মক আৰু a – b ঋণাত্মক
Solution
i) a + b ধনাত্মক:
উদাহৰণ: a = 3, b = 2
3 + 2 = 5, {ধনাত্মক}
দুয়োটা ধনাত্মক সংখ্যাৰ যোগফল ধনাত্মক হয়। আনকি, যদি এটা ধনাত্মক আৰু আনটো ঋণাত্মক হয়, কিন্তু ধনাত্মকটোৰ পৰম মান ডাঙৰ হ’লেও যোগফল ধনাত্মক হয়।
ii) a + b ঋণাত্মক:
উদাহৰণ: a = -5, b = -1
-5 + (-1) = -6, {ঋণাত্মক}
দুয়োটা ঋণাত্মক সংখ্যা যোগ কৰিলে বা ঋণাত্মক সংখ্যা এটাৰ পৰম মান ধনাত্মকটোতকৈ ডাঙৰ হ’লে যোগফল ঋণাত্মক হয়।
iii) a + b = 0
a = 4, b = -4
4 + (-4) = 0
a আৰু b হ’ব লাগিব পৰস্পৰ বিপৰীত সংখ্যা (additive inverse)।
iv) a + b আৰু a + b = 0:
চৰ্তটো অস্পষ্ট। যদি a + b = 0, তেন্তে উদাহৰণ (iii) ৰ দৰে হ’ব।
a = 5, b = -5
v) a ≠ b আৰু a – b = 0:
এইটো অসম্ভৱ। কাৰণ a – b = 0 হ’লে a = b, যাৰ অৰ্থ a ≠ b ৰ সৈতে বিৰোধি।
vi) a ধনাত্মক, b ঋণাত্মক, আৰু a – b ধনাত্মক:
উদাহৰণ: a = 5, b = -3
5 – (-3) = 5 + 3 = 8 {ধনাত্মক}
ঋণাত্মক সংখ্যা বিয়োগ কৰা মানে ধনাত্মক সংখ্যা যোগ কৰা।
vii) a ধনাত্মক, b ঋণাত্মক, আৰু a + b ঋণাত্মক:
উদাহৰণ: a = 2, b = -5
2 + (-5) = -3, {ঋণাত্মক}
b-ৰ পৰম মান a-তকৈ ডাঙৰ হ’লে যোগফল ঋণাত্মক হয়।
viii) a ঋণাত্মক, b ধনাত্মক, আৰু a + b ধনাত্মক:
উদাহৰণ: a = -2, b = 5
-2 + 5 = 3, {ধনাত্মক}
ধনাত্মক সংখ্যাটোৰ পৰম মান ঋণাত্মকটোতকৈ ডাঙৰ হ’লে যোগফল ধনাত্মক হয়।
ix) a ঋণাত্মক, b ধনাত্মক, আৰু a + b ঋণাত্মক:
উদাহৰণ: a = -5, b = 3
-5 + 3 = -2, {ঋণাত্মক}
ঋণাত্মক সংখ্যাটোৰ পৰম মান ধনাত্মকটোতকৈ ডাঙৰ হ’লে যোগফল ঋণাত্মক হয়।
x) a ঋণাত্মক, b ধনাত্মক, আৰু a – b ঋণাত্মক:
উদাহৰণ: a = -3, b = 4
-3 – 4 = -7, {ঋণাত্মক}
ঋণাত্মক সংখ্যাৰ পৰা ধনাত্মক সংখ্যা বিয়োগ কৰিলে ফলাফল ঋণাত্মক হয়।
2. সত্য নে অসত্য লিখা (ইয়াত a, b, c অখণ্ড সংখ্যা)
i. যদি a, b ধনাত্মক তেন্তে a > b — সত্য
ii. যদি a – b ঋণাত্মক তেন্তে a > b — অসত্য
iii. যদি a > b তেন্তে a + c > b + c — সত্য
iv. যদি a ধনাত্মক তেন্তে a > 0 — সত্য
v. যদি a ঋণাত্মক তেন্তে a < 0 — সত্য
vi. যদি a < b তেন্তে a – c < b – c — সত্য
3. a, b, c অখণ্ড সংখ্যা বুলি লৈ তলৰ খালী ঠাইবিলাক পূৰ্ণ কৰা।
i. যদি a > b তেন্তে |a – b| = a – b
ii. যদি a < b তেন্তে |a – b| = b – a
iii. যদি a > 2, b > 3 আৰু c > 0 তেন্তে |a – 2| + |b – 3| + |c – 3| = a – 2 + b – 3 + c – 3 = a + b + c – 8
iv. যদি a < 0, b < c < 0 তেন্তে |a| + [b] + [c] = -a + b + c
v. যদি সদায় a আৰু b দুয়োটাই ঋণাত্মক তেন্তে সিহঁতৰ যোগফল = ঋণাত্মক
4. খালী ঠাই পূৰ কৰা
i. (-18) + (-6) = (-6) + -18
ii. (5 + (-8)) + 9 = 6 × ((-8) + 9)
iii. ? + (-29) = -29 = (-29) + ? ⇒ 0
iv. x + 8 = 0 হলে x = -8
v. -21 + ? = -25 ⇒ ? = -25 – (-21) = -4
5. শুদ্ধনে অশুদ্ধ উল্লেখ কৰা (ইয়াত a, b, c আদি যিকোনো অখণ্ড সংখ্যা)
i. a – b = b – a
উত্তৰ: অশুদ্ধ
কাৰণ: অখণ্ড সংখ্যাৰ বিয়োগত পৰিবৰ্তন ধৰ্ম (commutative property) প্ৰযোজ্য নহয়।
উদাহৰণ: a = 5 , b = 3
5 − 3 = 2 আৰু 3 − 5 = −2
স্পষ্টভাৱে 2 ≠ −2
ii. a − b = b − a
উত্তৰ: অশুদ্ধ
কাৰণ: (i) ৰ দৰেই একে যুক্তি। বিয়োগত পৰিবৰ্তন ধৰ্ম নাথাকে।
iii. a − b − c = a − (b − c)
উত্তৰ: অশুদ্ধ
কাৰণ:
বাঁওফাল: (a − b) − c = a − b − c
সোঁফাল: a − (b − c) = a − b + c
উদাহৰণ: a = 10, b = 5, c = 2
(10 − 5) − 2 = 3 আৰু 10 − (5 − 2) = 7
3 ≠ 7
iv. a < b তেন্তে a − b ঋণাত্মক
উত্তৰ: শুদ্ধ
কাৰণ: a < b হ’লে a − b = −(b − a) যাৰ ফলাফল ঋণাত্মক
উদাহৰণ: a = 3, b = 5
3 − 5 = −2 (ঋণাত্মক)
v. |a + b| ≥ |a| + |b|
উত্তৰ: অশুদ্ধ
কাৰণ: সত্য হ’ল ত্ৰিভুজ অসমতা (triangle inequality): |a + b| ≤ |a| + |b|
উদাহৰণ: a = 3, b = −4
|3 + (−4)| = 1 আৰু |3| + |−4| = 7